2006中国数学奥林匹克(第二十一届全国中学生数学冬令营)试题及解答
2006中国数学奥林匹克
（第二十一届全国中学生数学冬令营）
第二天
福州 1月13日 上午8∶00～12∶30 每题21分
四、在直角三角形ABC中， ACB 90 ，△ABC 的内切圆O分
别与边BC，CA， AB 相切于点D，E，F，连接AD，与内切圆O相交于点P，连接BP，CP，若 BPC
90 ，求证：AE AP PD
．
证明 设AE = AF = x，BD＝BF＝y，CD＝CE＝z，AP＝m，PD＝n． 因为 ACP PCB 90 PBC PCB，所以 ACP PBC．
EC
B
延长AD至Q，使得 AQC ACP PBC，连接BQ，CQ，则P，B，Q，C四点共圆，令DQ＝l，则由相交弦定理和切割线定理可得
yz nl，
2
①
②
x m(m n)．
因为 ACP∽ AQC，所以
ACAQ
2
APAC
，故
③
(x z) m(m n l)．
在Rt △ACD和Rt △ACB中，由勾股定理得
(x z) z (m n)
2
2
2
2
2
， ④
2
(y z) (z x) (x y)
． ⑤