2006中国数学奥林匹克(第二十一届全国中学生数学冬令营)试题及解答
当5m，则公式⑥和⑦仍然给出方程①的整数解．若方程①有偶数解
x0 2x1,y0 2y1，则
x12 11y12 m,
可得
x1
2
，y1(mod2)
2
100m x1 33y1 11 y1 3x1 ．
若 x1 y1 0(mod5)，或者 x1 1(mod5),y1 2(mod5)，或者
x1 2(mod5),y1 1(mod5)
，则x0
x1 33y1
5
,y0
y1 3x1
5
是方程①的一奇数
解．
若 x1 1(mod5),y1 2(mod5)，或x1 2(mod5),y1 1(mod5)，则
x0
x1 33y1
5
,y0
y1 33x1
5
是方程①的一奇数解．
引理证毕．
由引理，若方程①没有奇数解，则它有一个满足②的偶数解(x0,y0)．令
l 2k 1，考虑二次方程
mx ly0x ny0 1 0
2
2
， ⑧
ly0 x0
2m
则
x
2m
，
这表明方程⑧至少有一个整数根x1，即
mx1 ly0x1 ny0 1 0
2
2
， ⑨
上式表明x1必为奇数．将⑨乘以4n后配方得
2ny0 lx1
2
11x1 4n，
2
22
这表明方程x 11y 4n有奇数解x 2ny0 lx1,y x1．