2006中国数学奥林匹克(第二十一届全国中学生数学冬令营)试题及解答
于是1 k 6．因为m为奇数，x2 11y2 2m，x2 11y2 6m显然没有整数解．
（1） 若x2 11y2 m，则x0 2x,y0 2y是方程①满足②的解． （2） 若x2 11y2 4m，则x0 x,y0 y是方程①满足②的解． （3） 若x2 11y2 3m，则 x 11y 11 x y 32 4m． 首先假设3
m，若
x
0(mod3),
y
x 11y3
2
2
0(mod3)，且
x,y0
x y3
y(mod3)，则
x0 是方程①满足②的解．若x y
x0
④
0(mod3)，则 x 11y3
,y0
y x3
⑤
是方程①满足②的解．
现在假设3m，则公式④和⑤仍然给出方程①的整数解．若方程①有偶数解
x0 2x1,y0 2y1，则
x1 11y1 m
22
36m 5x1 11y1 11 5y1 x1 ．
22
因为x1,y1的奇偶性不同，所以5x1 11y1，5y1 x1都为奇数． 若x y(mod3)，则x0 若x1
5x1 11y1
33
,y0
5y1 x1
33
2
是方程①的一奇数解． 是方程①的一奇数解．
2
y1(mod3)，则x0
5x1 11y1
,y0
5y1 x1
22
（4）x 11y 5m，则52 4m 3x 11y 11 3y x ．
当5则
m时，若x 1(mod5),y 2(mod5)，或x m2(,od)5
m1(od)5y
，
x0 是方程①满足②的解．
3x 11y
5
,y0
3y x5
⑥
若x 1(mod5),y 2(mod5)，或x 2(mod5),y 1(mod5)，则
x0
3x 11y
5
,y0
3y x5
⑦
是方程①满足②的解．