2006中国数学奥林匹克(第二十一届全国中学生数学冬令营)试题及解答
三、正整数m，n，k满足：mn k2 k 3，证明不定方程
x 11y 4m
22
和 x 11y 4n
2
2
中至少有一个有奇数解(x,y)．
证明 首先我们证明如下一个 引理：不定方程
x2 11y2 4m ①
或有奇数解(x0,y0)，或有满足
x0 (2k 1)y0(modm) ②
的偶数解(x0,y0)，其中k是整数．
引理的证明 考虑如下表示
x (2k
1)y x,y为整数，且
0 x
1 1 m 2
,0 y
2
则共
有
0,，个表示，因此存在整
数x1,x2
y1,y2 0,
2
，满足(x1,y1) (x2,y2)，且
x1 (2k 1)y1 x2 (2k 1)y2(modm)，
这表明
x (2k 1)y(modm)， ③
这里x x1 x2,y y2 y1。由此可得
x (2k 1)y 11y(modm)，
22
故x 11y km，
因为x y
2
2
2
2
2
x 11y 4m
22
114
m 7m
，