2006中国数学奥林匹克(第二十一届全国中学生数学冬令营)试题及解答
二、正整数a1,a2, ,a2006（可以有相同的）使得a1,a2, ,
a2
a3
a2005a2006
两
两不相等．问：a1,a2, ,a2006中最少有多少个不同的数？
解 答案：a1,a2, ,a2006中最少有46个互不相同的数．
由于45个互不相同的正整数两两比值至多有45×44＋1＝1981个，故
a1,a2, ,a2006中互不相同的数大于45．
下面构造一个例子，说明46是可以取到的．
设p1,p2, ,p46为46个互不相同的素数，构造a1,a2, ,a2006如下：
p1,p1,p2,p1,p3,p2,p3,p1,p4,p3,p4,p2,p4,p1,
p1,pk,pk 1,pk,pk 2,pk, ,pk,p2,pk,p1, p1,p45,p44,p45,p43,p45, ,p45,p2,p45,p1
p46,p45,p46,p44,p46, ,p46,p22,p46
，
， ，
，
这2006个正整数满足要求．
所以a1,a2, ,a2006中最少有46个互不相同的数．