考研数学公式大全 ? 式法.由F(x,y)?0知 F?(x,y)dy??xdxFy?(x,y),其中，Fx?(x,y)， ? 分别表示F(x,y)对? x和y的偏导数 (3)利用微分形式不变性 ? ? ? 高阶导数，一阶微分形式的不变性， ? ? ? ? 微分中值 ? 定理，必达法则， ? 泰勒公式 ? ? ? ? ? ? ? 常用高阶导数公式 （1）(ax)(n)?axlnna(a?0)(n)(ex)(n)?ex ? （2）(sinkx)?knsin(kx?n?) 2?kncos(kx?n?) 2?（3）(coskx)(n)?（4）(xm)(n)?m(m-1)?(m-n+1)xm-n (n)(n?1)! nx（6）莱布尼兹公式：若u(x),v(x)均n阶可导，则 （5）(lnx)?(?1)(n?1) (uv)(n)i(i)(n-i)??cnuvi=0n，其中u(0)=u，v(0)=v Th1(费马定理)若函数函数f(x)满足条件： f(x)在x0的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有 f(x)?f(x0)或f(x)?f(x0), (2) f(x)在x0处可导,则有 f?(x0)?0 f(x)满足条件： 9
Th2 (罗尔定理) 设函数考研数学公式大全 ? ? ? ? 在闭区间[a,b]上连续； 在(a,b)内可导，则在(a,b)内?一个?，使 Th3 (拉格朗日中值定理) 设函数f?(?)?0 f(x)满足条件： 在[a,b]上连续；(2)在(a,b)内可导；则在(a,b)内?一个?，使 f(b)?f(a)?f?(?) b?a? ? Th4 (柯西中值定理) 设函数在[a,b]上连续；(2)在f(x)，g(x)满足条件： 均存在，且 (a,b)内可导且f?(x)，g?(x)，使 g?(x)?0则在(a,b)内?一个?? ? 洛必达法则： 法则Ⅰ (f(b)?f(a)f?(?)?g(b)?g(a)g?(?)0型)设函数f?x?,g?x?满足条件： 0x?x0? x?x0limf?x??0,limg?x??0; f?x?,g?x?在x0的邻域内可导 f??x?存在(或?).则 g??x?? (在x0处可除外)且g??x??0;limx?x0? x?x0limf?x?g?x??limx?x0f??x?. g??x?? 法则I? (0型)设函数f?x?,g?x?满足条件： 0x??? limf?x??0,limg?x??0;?一个X?0,当x?Xx?? ? 时,f?x?,g?x?可导,且g??x??0;limx?x0f??x?存在(或?).则 g??x?10
考研数学公式大全 ? x?x0limf?x?g?x??limx?x0f??x?. g??x?? 法则Ⅱ(??型) 设函数f?x?,g?x?满足条件： ? x?x0limf?x???,limg?x???; f?x?,g?x?在x0 的邻域内可 x?x0? 导(在x0处可除外)且g??x??0;limx?x0f??x?存在(或?).则 g??x?? x?x0limf?x?g?x??limx?x0f??x??.同理法则II?(g??x??型)仿法则I?可写出 ? ? ? ? 泰勒公式: 设函数f(x)在点x0处的某邻域内具有n?1阶导 x0的任意点x，在x0与x之间至少? 1f??(x0)(x?x0)2??2!数，则对该邻域内异于一个?，使得 f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)? ? f(n)(x0)?(x?x0)n?Rn(x) n!? 其中 f(n?1)(?)Rn(x)?(x?x0)n?1称为f(x)在点x0处的n阶(n?1)!泰勒余项.令0? x?0，则n阶泰勒公式 1f(n)(0)n2f(x)?f(0)?f?(0)x?f??(0)x???x?Rn(x)2!n!……(1) 11
考研数学公式大全 ? 其中 式 ? 常用五种函数在x0xf(n?1)(?)n?1，?Rn(x)?x(n?1)!?0处的泰勒公式 在0与x之间.(1)式称为麦克劳林公? 121nxn?1?e?1?x?x???x?e 2!n!(n?1)!? 或 ?1?x?1x2???1xn?o(xn) 2!n!? 13xnn?xn?1n?1sinx?x?x???sin?sin(???)3!n!2(n?1)!2 ? 或 13xnn??x?x???sin?o(xn) 3!n!2? 12xnn?xn?1n?1cosx?1?x???cos?cos(???)2!n!2(n?1)!2 ? 或 12xnn??1?x???cos?o(xn) 2!n!2? n1213(?1)nxn?1n?1xln(1?x)?x?x?x???(?1)?23n(n?1)(1??)n?1 ? 或 ?x?1x2?1x3???(?1)n?1xn23n?o(xn) ? (1?x)m?1?mx?? m(m?1)2m(m?1)?(m?n?1)n x???x2!n!?m(m?1)?(m?n?1)n?1x(1??)m?n?1 或 (n?1)!12
考研数学公式大全 ? (1?x)m?1?mx?m(m?1)x2?? 2!? ?m(m?1)?(m?n?1)xn?o(xn) n!? ? 函数单调性的判别，函数的极值，函数的图形的凹凸性，拐点及渐近线，用函数图形描绘函数最大值和最小值， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1函数单调性的判断： Th1设函数f(x)在(a,b)区间内可导，如果对?x?(a,b)，都有f'(x)?0（或f'(x)?0），则函数f(x)在(a,b)内是单调增加的（或单调减少） Th2 （取极值的必要条件）设函数则f(x)在x0处可导，且在x0处取极值，f'(x0)?0. f(x)在x0的某一邻域内可微，且Th3 （取极值的第一充分条件）设函数f'(x0)?0（或f(x)在x0处连续，但f'(x0)不存在.） 若当x经过若当x经过若x0时，f'(x)由“+”变“-”，则f(x0)为极大值； x0时，f'(x)由“-”变“+”，则f(x0)为极小值； f'(x)经过x?x0的两侧不变号，则f(x0)不是极值. f(x)在点Th4 (取极值的第二充分条件)设x0处有f''(x)?0，且f'(x0)?0，则 当f''(x0)?0时，f(x0)为极大值； ? 注：如果当f''(x0)?0时，f(x0)为极小值. f''(x0)＝0，此方法失效. 2渐近线的求法： ? (1)水平渐近线 若x???limf(x)?b，或limf(x)?b，则y?b x???称为函数y?f(x)的水平渐近线. 13