考研数学公式大全 合积， ? ???2矢量的向量积（叉积，外积）：设有两个向量a与b，若?一个矢量c满足如下条件 ，? （1）?????c?absin(a,b)； ? ? ?????cc?a,c?b（2），即（3）??垂直于a，b所确定的平面； ?c为矢量???c?a?b. ? ??a，b，?c成右手系.则称矢量??a与b的矢量积，记??a?{x,y,z}设111b?{x2,y2,z2}，则 ??ij?k? ??yz?xz?xy?a?b?x1y1z1?11i?11j?11k. y2z2x2z2x2y2x2y2z23混合积：设有三个矢量a,b,c，若先作a，b的叉积a?b，再与c作? ????????点积(a?b)?c，则这样的数积称为矢量?????a，b，?c的混合积，记为???(a,b,c)，即(a,b,c)?(a?b)?c. ? 设a????{x1,y1,z1}，b?{x2,y2,z2}，c?{x3,y3,z3}， x1y1z1? 则(a,b,c)?x2y2z2x3y3z3 ? 两向量垂直、平? 1向量之间的位置关系及结论 24
考研数学公式大全 行的条件，两向量的夹角，向量的坐标表达式及其运算，单位向量，方向数与方向余弦， ? （5）a，b，c共面??不全为零的数?,?,v，使 ? ? ? ? 其中x2,y2,z2之中有一个为“0”，如x2? （2）a//b? ? 设a????{x1,y1,z1}，b?{x2,y2,z2}，c?{x3,y3,z3} ?????b?a?b?0?x1x2?y1y2?z1z2?0； ???xyz?a?b?0?1?1?1x2y2z2（1）a??； ?0，应理解为x1?0； （3）a，b不共线??不全为零的数?,?使?a??b??????0； （4）矢量a与b的夹角，可由下式求出 ????cos(a?b)?x1x2?y1y2?z1z2x?y?z?x2?y2?z2?212121222； ??? ?a??b?vc?0或者(a,b,c)?0 ????0????? 2单位向量：模为1的向量. 向量a的单位向量记作a， ? ?????axyz?0a????,,a?x2?y2?z2x2?y2?z2x2?y2?z2?3向量的方向余弦： ???. ??? 25
考研数学公式大全 ? cos??xx?y?z222,cos??yx?y?z222,cos??zx?y?z222,其中?,?,?为向量a与各坐标轴正向的夹角. ?? 4单位向量的方向余弦：显然a???0?{cos?,cos?,cos?}，且有 ? ? 曲面方程和空间曲线方程的概念，平面方程，直线方程，平面与平面、平面与直线、直线与直线的以及平行、? ? ? ? cos2??cos2??cos2??1. 1平面方程 ? 一般式方程 ? Ax?By?Cz?D?0，法矢量?n?{A,B,C}，若方程中某个坐标不出现，则平面就平行于该坐标轴，例如 平面? 平面的Ax?Cz?D?0//y轴 点法式方程 A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0?M(x0,y0,z0)为平面上已知点，n?{A,B,C}为法矢量 x?x1y?y1z?z1? 三点式方程 x2?x1y2?y1z2?z1x3?x1y3?y1z3?z1 M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),M3(x3,y3,z3)为平面上的三个点 ? 截距式方程 xyz???1，a,b,c分别为平面上坐标轴abc上 的截距，即平面通过三点 (a,0,0),(0,b,0),(0,0,c) 2直线方程 26
考研数学公式大全 垂直的条件，点到平面和点到直线的距离 ? ? 标准式方程 ? ? ? 一般式方程(两平面交线)：??A1x?B1y?C1x?D1?0平面?1 ?A2x?B2y?C2x?D2?0平面?2???平面?1与平面?2的法矢量分别为n1?{A1,B1,C1}， ???ijk??????????n2?{A2,B2,C2} ， 直线的方向矢量为s?n1?n2?A1B1C1A2B2C2 ? x?x0y?y0z?z0 M(x0,y0,z0)为直线上已知点， ??lmn?s?{l,m,n}为直线的方向矢量 (3)两点式方程 ? ? x?x1y?y1z?z1??x2?x1y2?y1z2?z1 其中M1(x1,y1,z1)，M2(x2,y2,z2)为直线上的两点 ? ?x?x0?lt?(4)参数式方程?y?y0?mt M(x0,y0,z0)为直线上已知 ?z?z?nt0?? ?点，s?{l,m,n}为直线的方向矢量 3平面间的关系 ? ? ? 设有两个平面：平面?1：? A1x?B1y?C1z?D1?0平面?2： A2x?B2y?C2z?D2?0 平面?1//平面?2?A1B1C1??A2B2C2 ? 平面?1?平面?2?A1A2?B1B2?C1C2?0 27
考研数学公式大全 ? 平面?1与平面?2的夹角?，由下式确定 ? cos??A1A2?B1B2?C1C2222A12?B12?C12A2?B2?C2 ? ? ? 4平面与直线间关系 直线L:x?x0y?y0z?z0??lmn 平面?1：? ? A1x?B1y?C1z?D1?0 ?Al?Bm?Cn?0 (1)L//?(2)L???ABC??lmn ? ? (3)L与?的夹角?，由下式确定 sin??Al?Bm?CnA?B?C222l?m?n222 ? ? 5直线间关系 设有两直线：直线L1:x?x1y?y1z?z1??l1m1n1: ? 直线L2x?x2y?y2z?z2??l2m2n2 ? ? ? (1)L1//L2(2)L1?l1m1n1??l2m2n2?L2?l1l2?m1m2?n1n2?0 直线L1与L2的夹角?，由下式确定 ? cos??l1l2?m1m2?n1n2l?m?n212121l?m?n222222 ? ? 6点到平面的距离：M(x0,y0,z0)到平面 ?:Ax?By?Cz?D?0的距离为 28