考研数学公式大全 分条件， ? 多元复合函数、隐函数的求导法，二阶偏导数，方向导数和梯度， ? ? ? ? 1复合函数微分法 (1)设z?f(u,v),u??(x,y),v??(x,y),则??z?z?u?z?v???????x?u?x?v?x??z?z?u?z?v???????y?u?y?v?y (2)设z?f(u,v),u??(x),v??(x), dz?zdu?zdv则????,称之为z的全导数dx?udx?vdx(3)设z?f(x,u,v),u??(x,y),v??(x,y),??z?f?f?u?f?v????????x?x?u?x?v?x则???z?0??f??u??f??v???u?y?v?y?y ? 注：复合函数一定要设中间变量，抽象函数的高阶偏导数，其中间变量用数字1，2，3……表示更简洁. ? ? 2隐函数微分法 (1)设F(x,y)?0,则(2)F(x,y,z)?0,则F'(x,y)dy??x dxF'y(x,y)F'y(x,y,z)F'(x,y,z)?z?z??x,???xF'z(x,y,z)?yF'z(x,y,z) ? ? ?F(x,y,z)=0(3)设由方程组?确定的隐函数y?y(x),z?z(x),G(x,y,z)=0? ? 则dydzdydz,可通过解关于,的线性方程组 dxdxdxdx34
考研数学公式大全 ? ?F'x?F'y??:??G'?G'xy??求解 dydzdy??F'z??0F'?F'z?dxdy?ydx??dydz?G'dy?G'?G'z?0yz?dx?dxdxdz??F'x,dxdz??G'xdx来? ? 方向导数和梯度 Th1设z?f(x,y)在M0(x0,y0)处可微，则f(x,y)在点M0(x0,y0)沿任意方向l?(cos?,cos?) 存在方向导数且?f(x0,y0)?f(x0,y0)?f(x0,y0)?cos??cos? ?l?x?y? ? 在平面上l除了用方向角表示外也可用极角表示： l?(cos?,sin?)，?是l的极角，??[0,2?]此时相应的方向导 数的计算公式为 Th2设三元函数u? ? ? ? ? ?f(x0,y0)?f(x0,y0)?f(x0,y0)?cos??sin??l?x?y ?f(x,y,z)在M0(x0,y0,z0)处可微，则 u?f(x,y,z)在点M0(x0,y0,z0)沿任意方向 l?(cos?,cos?,cos?)存在方向导数且有 ?f(x0,y0,z0)?f(x0,y0,z0)?f(x0,y0,z0)?cos??cos??l?x?y 梯度：z ? ? ? ??f(x0,y0,z0)cos??z ?f(x,y)在点M0的方向导数计算公式可改写成 ?f(x0,y0)?f(x0,y0)?f(x0,y0)?(,)?(cos?,cos?) ?l?x?y? ?grad(f(x0,y0))?l?gradf(x0,y0)cos?grad(f(x0,y0),l? 这里向量gradf? (x0,y0)?(35
?f(x0,y0)?f(x0,y0),)成为 ?x?y考研数学公式大全 ? ? z?f(x,y)在点M0的梯度(向量) grad(f(x0,y0)?f(x0,y0)随l而变化l?grad(f(x0,y0)?l向导数取最大值即沿梯度方向时，方 ? grad f(x0,y0) ? 曲线的切线及法平面方程 ? ?x?x(t)?(1)曲线?y?y(t)在(x0,y0,z0)?t?t0?z?z(t)? ? ? 空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线， ? ? ? ? x?xy?y0z?z0处的切线方程：0??x'(t0)y'(t0)z'(t0) 法平面方程：x'(t0)(x?x0)?y'(t0)(y?y0)?z'(t0)(z?z0)?0 （x,y,z)?0?F(2)空间曲线?的一般式方程为? G(x,y,z)?0?则在曲线?的（Px0,y0,z0)处的 x?x0切线方程：?(F,G)?(y,z)法线方程： ?py?y0?(F,G)?(z,x)p?z?z0?(F,G)?(x,y)p ? ? ?(F,G)?(F,G)?(F,G)（x?x0)?(y?y0)?(z?z0)?0?(y,z)p?(z,x)p?(x,y)p ? 空间曲面在其上某点处的切平面和法线方程 36
考研数学公式大全 ? (1)设曲面?为显示方程z?f(x,y),则在?上一点P(x0,y0,z0)处的 ? ?z?z切平面方程：(x?x0)?(y?y0)?(z?z0)?0. ?xp?yp? x?xy?y0z?z0法线方程：0???z?1?z?xp?yp ? (2)设曲面?为隐式方程（Fx,y,z)?0,则在?上一点P(x0,y0,z0)的切平面方程：F'x(x?x0)?Fy?(y?y0)?Fz?p(z?z0)?0 p? ? 二元函数的二阶泰勒公式，多元函数的极值和条件极值，多元函数的最大? ? x?xy?y0z?z0法线方程：0??F'x|pF'y|pF'z|p1多元函数的极值 定义： ? ? ? 设函数z?f(x,y)在P(x0,y0)的某邻域内有定义，若对于该邻域 内异于P(x0,y0) ? 点的任一点Q(x,y)恒有 f(x,y)?f(x0,y0)(或?f(x0,y0)) 则称f(x0,y0)为f(x,y)的极小值(极大值) 37
考研数学公式大全 值、最小值及其简单应用 ? Th（取极值的必要条件）1设z?f(x,y)在P(x0,y0)点的一阶偏导数存在，且'??fx(x0,y0)?0P(x0,y0)是z?f(x,y)的极值点，则?'??fy(x0,y0)?0Th（函数取极值的充分条件）2? 设z?f(x,y)在P(x0,y0)点的某邻域内有连续的二阶偏导数,且f'x(x0,y0)?0,f'y(x0,y0)?0 ? [f\xy(x0,y0)]2?f\x2(x0,y0)?f\y2(x0,y0)?0则P(x0,y0)是z?f(x,y)的一个极值点 ? (1)若f\x2(x0,y0)?0(或f\y2(x0,y0)?0),则P(x0,y0)为极小值点。 ? (2)若f\x2(x0,y0)?0(或f\y2(x0,y0)?0),则P(x0,y0)为极大值点。2无条件极值 ? ? 解题程序： (1)求出z?f(x,y)的驻点（x0,y0)； 则f(x0,y0)为 (2)用Th2判别(x0,y0)是否为极值点；是，z?f(x,y)的极值。 ? ? ? 3条件极值（拉格朗日乘数法） 38