第十章 曲线积分与曲面积分 §10.1 对弧长的曲线积分
一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 1.引例：曲线形构件的质量?
设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上? 已知曲线形构件在点(x? y)处的线密度为?(x? y)? 求曲线形构件的质量? (1)“大化小”: 把曲线分成n小段? ?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn(?si也表示弧长)?
MkB (2)“常代变”：任取(?i ? ?i)??si? 得第i小段质量近似值?(?i ? ?i)?si?
（3）“求和”整个物质曲线的质量近似为
M???(?i,?i)?sii?1n?skMk?1的
A?
（4）“取极限”令??max{?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn}?0? 则整个物质曲线的质量为
M?lim??(?i,?i)?si??0i?1n?
这种和的极限在研究其它问题时也会遇到? 现在引入下面定义。 2. 定义 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧? 函数f(x? y)在L上有界? 在L上任意插入一点列M1? M2? ? ? ?? Mn?1把L分在n个小段. 设第i个小段的长度为?si? 又(?i? ?i)为第i个小段上任意取定的一点? 作乘积f(?i? ?i)?si? (i?1? 2?? ? ?? n )? 并作和i?1?f(?i,?i)?sin? 如果当各小弧段的
长度的最大值??0? 这和的极限总存在? 则称此极限为函数f(x? y)在
曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分? 记作?Llim?f(?i,?i)?si?Lf(x,y)ds???0i?1nf(x,y)ds? 即
?
其中f(x? y)叫做被积函数? L 叫做积分弧段? 说明：
（1）根据对弧长的曲线积分的定义?曲线形构件的质量就是曲线积分?L?(x,y)ds的值? 其中?(x? y)为线密度?
lim?f(?i,?i,?i)?si??f(x,y,z)ds???0i?1n （2） 对弧长的曲线积分的推广? ?
（3）如果L(或?)是分段光滑的? 则规定函数在L(或?)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和? 例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2? 则规定
?L?L12f(x,y)ds??f(x,y)ds??f(x,y)dsL1L2?
（4）闭曲线积分? 如果L是闭曲线? 那么函数f(x? y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作
?Lf(x,y)ds?
3. 曲线积分的存在性? 当f(x? y)在光滑曲线弧L上连续时? 对弧长的曲线积分?L的?
4. 对弧长的曲线积分的性质? 性质1 设c1、c2为常数? 则
f(x,y)ds是存在的? 以后我们总假定f(x? y)在L上是连续
?L[c1f(x,y)?c2g(x,y)]ds?c1?Lf(x,y)ds?c2?Lg(x,y)ds?
性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2? 则
?Lf(x,y)ds??L1f(x,y)ds??f(x,y)dsL2?
性质3设在L上f(x? y)?g(x? y)? 则
?Lf(x,y)ds??Lg(x,y)ds?
|?f(x,y)ds|??|f(x,y)|dsLL特别地? 有
二、对弧长的曲线积分的计算法
定理 设f(x? y)在曲线弧L上有定义且连续? L的参数方程为 x??(t)? y??(t) (??t??)?
其中?(t)、?(t)在[?? ?]上具有一阶连续导数? 且??2(t)???2(t)?0? 则曲线积分?L
f(x,y)ds存在? 且
??Lf(x,y)ds???f[?(t),?(t)]??2(t)???2(t)dt(?
证明（略）
注意? 定积分的下限?一定要小于上限?? 讨论?
(1)若曲线L的方程为y??(x)(a?x?b)? 则?L提示? L的参数方程为x?x? y??(x)(a?x?b)?
f(x,y)ds??
?Lf(x,y)ds??f[x,?(x)]1???2(x)dxab?
f(x,y)ds (2)若曲线L的方程为x??(y)(c?y?d)? 则?L提示? L的参数方程为x??(y)? y?y(c?y?d)?
??
?Lf(x,y)ds??f[?(y),y]??2(y)?1dycd?
f(x,y)ds（3）若曲线L的极坐标方程为： ?=?(?)，则?L提示?
??
?Lf(x,y)ds??f[?cos?,?sin?]?2???2d??? (4)若曲?的方程为x??(t)? y??(t)? z??(t)(??t??)?
则??f(x,y,z)ds??
??提示?
??f(x,y,z)ds??f[?(t),?(t),?(t)]??2(t)???2(t)???2(t)dtyds?
例1 计算?L之间的一段弧?
? 其中L是抛物线y?x2上点O(0? 0)与点B(1? 1)
解 曲线的方程为y?x2 (0?x?1)? 因此
11??x1?4x2dx?(55?1)120?
yB(1,1)y?x2Lo1x 例2 计算半径为R、中心角为2?的圆弧L对y于它的对称轴的转动惯量I(设线密度为 解 取坐标系如图所示? 则 曲线L的参数方程为
x?Rcos?? y?Rsin? (????
I??y2ds??R2sin2?(?Rsin?)2?(Rcos?)2d?L??1)?
LI??y2dsL? o?Rx是 ???
?R3?sin2?d?????R3(??sin? cos?)?
?为螺旋线x?acost、
(x2?y2?z2)ds? 例3 计算曲线积分?? 其中
y?asint、z?kt上相应于t从0到达2?的一段弧?
解 在曲线?上有x2?y2?z2?(a cos t)2?(a sin t)2?(k t)2?a2?k 2t 2? 并且 于是
ds?(?asint)2?(acost)2?k2dt?a2?k2dt?
y??(x2?y2?z2)ds??(a2?k2t2)a2?k2dt02? o?2?a2?k2(3a2?4?2k2) 3?
x例4. 计算曲线积分 ? (x2?y2?z2)ds,其中
?一段弧. x?acost,y?asint,z?kt(0?t?2?)?为螺旋线的
解: ?(x?y?z)ds??[(acost)2?(asint)2?(kt)2]?(?asint)2?(acost)2?k2dt0?2222?
三、小结
?a2?k2?2?0[a2?k2t2]dt?2k23?2??a?k?at?t?3??022?2?3a2?k2(3a2?4?2k2) 1、对弧长曲线积分的概念
2、对弧长曲线积分的计算 3、对弧长曲线积分的应用 四、思考与练习
x2y222已知椭圆 ? 1 周长为a , 求 ?L : ?(2xy?3x?4y)ds?L43