A流向n所指一侧的流量? 它表示流体通过闭区域A实际上流向?n所指一侧? 且流向?n所指一侧的流量为?Av?n? 因此? 不论(v?^n)为何值? 流体通过闭区域A流向n所指一侧的流量均为Av?n ?
把曲面?分成n小块? ?S1? ?S2? ? ? ?? ?Sn(?Si同时也代表第i小块曲面的面积)? 在?是光滑的和v是连续的前提下? 只要?Si的直径很小? 我们就可以用?Si上任一点(?i, ?i, ?i )处的流速
vi?v(?i, ?i, ?i )?P(?i, ?i, ?i )i?Q(?i, ?i, ?i )j?R(?i, ?i, ?i )k 代替?Si上其它各点处的流速? 以该点(?i, ?i, ?i )处曲面?的单位法向量
ni?cos?i i?cos?i j? cos?i k
代替?Si上其它各点处的单位法向量? 从而得到通过?Si流向指定侧的流量的近似值为
vi?ni?S i (i?1, 2, ? ? ? ,n) 于是? 通过?流向指定侧的流量
???vi?ni?Sii?1nn ?
??[P(?i,?i,?i)cos?i?Q(?i,?i,?i)cos?i?R(?i,?i,?i)cos?i]?Sii?1但 cos?i??Si?(?Si)yz ? cos?i??Si?(?Si)zx ? cos?i??Si?(?Si)xy ? 因此上式可以写成
???[P(?i,?i,?i)(?Si)yz?Q(?i,?i,?i)(?Si)zx?R(?i,?i,?i)(?Si)xy]i?1n ?
令??0取上述和的极限? 就得到流量?的精确值? 这样的极限还会在其它问题中遇到? 抽去它们的具体意义? 就得出下列对坐标的
曲面积分的概念?
提示? 把?Si看成是一小块平面? 其法线向量为ni? 则通过?Si流向指定侧的流量近似地等于一个斜柱体的体积?
此斜柱体的斜高为|vi|? 高为|vi|cos(vi?^ni)?vi?ni? 体积为vi?ni?Si ? 因为 ni?cos?i i?cos?i j? cos?i k?
vi?v(?i, ?i, ?i )?P(?i, ?i, ?i )i?Q(?i, ?i, ?i )j?R(?i, ?i, ?i )k?
vi?ni?Si?[P(?i, ?i, ?i)cos?i?Q(?i, ?i, ?i)cos?i?R(?i, ?i, ?i)cos?i]?Si ? 而 cos?i??Si?(?Si)yz ? cos?i??Si?(?Si)zx ? cos?i??Si?(?Si)xy ?
所以 vi?ni?Si?P(?i, ?i, ?i)(?Si)yz?Q(?i, ?i, ?i)(?Si)zx?R(?i, ?i, ?i)(?Si)xy ?
对于?上的一个小块?? 显然在?t时间内流过?的是一个弯曲的柱体? 它的体积近似于以?为底? 而高为
(|V|?t)cos(V?^n)?V?n ?t
的柱体的体积? V?n?t?S? 这里n?(cos?? cos?? cos?)是?上的单位法向量? ?S表示?的面积? 所以单位时间内流向? 指定侧的流体的质量近似于
V?n?S?(P(x? y? z)cos??Q(x? y? z)cos? ?R(x? y? z)cos? )?S ? 如果把曲面?分成n小块?i(i?1? 2? · · · ? n)? 单位时间内流向?指定侧的流体的质量近似于 ???{P(xi,yi,zi)cos?i?Q(xi,yi,zi)cos?i?R(xi,yi,zi)cos?i}?Si?1n?
按对面积的曲面积分的定义?
????{P(x,y,z)cos??Q(x,y,z)cos??R(x,y,z)cos?}dS???V?ndS???
舍去流体这个具体的物理内容? 我们就抽象出如下对坐标的曲面积分的概念?
3.定义 设?为光滑的有向曲面? 函数R(x? y? z)在?上有界? 把?任意分成n块小曲面?Si(?Si同时也代表第i小块曲面的面积)? 在xOy面上的投影为(?Si)xy? (?i, ?i, ?i )是?Si上任意取定的一点? 如果当各小块曲面的直径的最大值??0时?
lim?R(?i,?i,?i)(?Si)xyn
??0i?1
总存在? 则称此极限为函数R(x? y? z)在有向曲面?上对坐标x、y的曲面积分? 记作???R(x,y,z)dxdy?
n即
lim?R(?i,?i,?i)(?Si)xy??R(x,y,z)dxdy???0i?1??
类似地有
lim?P(?i,?i,?i)(?Si)yz??P(x,y,z)dydz???0i?1?n
? ?
lim?Q(?i,?i,?i)(?Si)zx??Q(x,y,z)dzdx???0i?1?n其中R(x? y? z)叫做被积函数? ?叫做积分曲面?
4. 对坐标的曲面积分的存在性?我们指出当P(x? y? z) ? Q(x? y? z) ? R(x? y? z)在光滑曲面?上连续时，对坐标的曲面积分是存在的? 今后总假定P(x? y? z) ? Q(x? y? z) ? R(x? y? z)在?上连续。
5. 对坐标的曲面积分的简记形式? 在应用上出现较多的是
??P(x,y,z)dydz???Q(x,y,z)dzdx???R(x,y,z)dxdy???
???P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy??
流向?指定侧的流量?可表示为 ?
???P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy??
一个规定? 如果?是分片光滑的有向曲面? 我们规定函数在?上对坐标的曲面积分等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和?
6.对坐标的曲面积分的性质?
对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分类似的一些性质? 例如
(1)如果把?分成? 1和?2? 则
??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy??1 ?2???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?
(2)设?是有向曲面? ??表示与?取相反侧的有向曲面? 则
????Pdydz?Qdzdx?Rdxdy????Pdydz?Qdzdx?Rdxdy??
这是因为如果n?(cos? ? cos? ? cos?)是?的单位法向量? 则??上的单位法向量是
?n ?(? cos? ? ?cos? ? ?cos?)?
????Pdydz?Qdzdx?Rdxdy? ????{P(x,y,z)cos??Q(x,y,z)cos??R(x,y,z)cos?}dS????Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?
二、对坐标的曲面积分的计算法
将曲面积分化为二重积分? 设积分曲面?由方程z?z(x? y)给出的? ?在xOy面上的投影区域为Dxy ? 函数z?z(x? y)在Dxy上具有一阶连续偏导数? 被积函数R(x? y? z)在?上连续? 则有
??R(x,y,z)dxdy????R[x,y,z(x,y)]dxdy?Dxy?
其中当?取上侧时? 积分前取“?”? 当?取下侧时? 积分前取“?”? 这是因为? 按对坐标的曲面积分的定义? 有
??R(x,y,z)dxdy????0lim?R(?i,?i,?i)(?Si)xyi?1n?
当?取上侧时? cos ??0? 所以(?Si)xy ?(??i)xy? 又因(?i, ?i, ?i)是?上的一点? 故?i?z(?i, ?i)? 从而有
?R(?i,?i,?i)(?Si)xy??R[?i,?i,z(?i,?i)](??i)xyi?1i?1nn?
令??0取上式两端的极限? 就得到
??R(x,y,z)dxdy???R[x,y,z(x,y)]dxdy?Dxy?
同理当?取下侧时? 有
??R(x,y,z)dxdy????R[x,y,z(x,y)]dxdy?Dxy?
类似地? 如果?由x?x(y? z)给出? 则有