x??t)? y =? (t)? z??(t) 给出? 那么曲线积分
??P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz?？
??P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz 如何计算? 提示?
??{P[?(t),?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t),?(t)]??(t)?R[?(t),?(t),?(t)]??(t)}dt? ??其中?对应于?的起点? ?对应于?的终点? 例题? 例1?计算?L的一段弧?
解法一? 以x为参数? L分为AO和OB两部分?
AO的方程为y??x? x从1变到0? OB 的方程为y?x? x从0变到1? 因此
xydx? 其中L为抛物线y2?x上从点A(1? ?1)到点B(1? 1)
?Lxydx??AOxydx??OBxydx ??x(?x)dx??xxdx?2?100113x2dx?405 ?
第二种方法? 以y为积分变量? L的方程为x?y2? y从?1变到1? 因此
?2?y4dy?4?xydx?yy(y)dy??1?15 ? ?L1221y2dx? 例2? 计算L?
(1)L为按逆时针方向绕行的上半圆周x2+y2=a2 ? (2)从点A(a? 0)沿x轴到点B(?a? 0)的直线段?
解 (1)L 的参数方程为 x?a cos?? y?a sin??
?从0变到??
因此
?Lydx??asin?(?asin?)d??a02?223?0?43(1?cos2?)dcos???a3?
(2)L的方程为y?0? x从a变到?a? 因此
?Lydx??a2?a0dx?0?
2xydx?x2dy? 例3 计算L? (1)抛物线y?x2上从O(0? 0)到B(1? 1)的一
段弧? (2)抛物线x?y2上从O(0? 0)到B(1? 1)的一段弧? (3)从O(0? 0)到A(1? 0)? 再到R (1? 1)的有向折线OAB ? 解 (1)L? y?x2? x从0变到1? 所以
?L2xydx?x2dy??(2x?x2?x2?2x)dx?4?x3dx?10011?
(2)L? x?y2? y从0变到1? 所以
?L2xydx?xdy??0(2y?L212?y?2y?y)dy?5?y4dy?1041 ?
(3)OA? y?0? x从0变到1? AB? x?1? y从0变到1?
2xydx?x2dy??2xydx?x2dy??2xydx?x2dyOAAB
??(2x?0?x?0)dx??(2y?0?1)dy00121?0?1?1?
x3dx?3zy2dy?x2ydz? 例4? 计算?? 其中?是从点A(3? 2? 1)到点B(0? 0?
0)的直线段AB?
解? 直线AB的参数方程为 x?3t? y?2t? x?t? t从1变到0? 所以
873I??[(3t)?3?3t(2t)?2?(3t)?2t]dt?87?1tdt??4? 1所以
03220x2?y2?1 例5? 一个质点在力F的作用下从点A(a? 0)沿椭圆a2b2按逆时针方向移动到点B(0? b)? F的大小与质点到原点的距离成正比? 方向恒指向原点? 求力F所作的功W?
? 解? 椭圆的参数方程为x?acost? y?bsint ? t从0变到2?
F?k?|r|?(?r)??k(xi?yj)|r| r?OM?xi?yj? ?
?其中k>0是比例常数? 于是
??kxdx?kydy??k?xdx?ydyW??AB ?AB?
??k?2(?a2costsint?b2sintcost)dt0?
?k(a2?b2)02sintcostdt???k(a2?b2)2?
三、两类曲线积分之间的联系 由定义? 得
?LPdx?Qdy??L(Pcos??Qsin?)ds ??{P,Q}?{cos?,sin?}ds??F?drLL?
其中F?{P? Q}? T?{cos?? sin?}为有向曲线弧L上点(x? y)处单位切向量? dr?Tds?{dx? dy}?
类似地有
??Pdx?Qdy?Rdz???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds ??{P,Q,R}?{cos?,cos?,cos?}ds??F?dr???
其中F?{P? Q? R}? T?{cos?? cos?? cos?}为有向曲线弧?上点(x? y? z)处单们切向量? dr?Tds ?{dx? dy? dz }? 四、小结
1、对坐标曲线积分的概念 2、对坐标曲线积分的计算
1、 两类曲线积分之间的联系
五、思考题
已知为折线 ABCOA(如图), 计算
zC(0,0,1)B(0,1,0)oyA(1,0,0)xI????dx?dy?ydz
§10?3 格林公式及其应用
一、格林公式
1. 单连通与复连通区域?
设D为平面区域? 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D? 则称D为平面单连通区域? 否则称为复连通区域?
对平面区域D的边界曲线L? 我们规定L的正向如下? 当观察者沿L的这个方向行走时? D内在他近处的那一部分总在他的左边? 定理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围成? 函数P(x? y)及Q(x? y)在D上具有一阶连续偏导数? 则有
??(D?Q?P?)dxdy??Pdx?QdyL?x?y?
其中L是D的取正向的边界曲线? 证明?
仅就D即是X－型的又是Y－型的区域情形进行证明? 设D?{(x? y)|?1(x)?y??2的计算法有
?Pdxdy?b{?2(x)?P(x,y)dy}dx?b{P[x,?(x)]?P[x,?(x)]}dx21???y?a??1(x)?y?aD?P(x)? a?x?b}? 因为?y连续? 所以由二重积分
?
另一方面? 由对坐标的曲线积分的性质及计算法有
?Pdx??Pdx??Pdx??P[x,?1(x)]dx??P[x,?2(x)]dxLL1L2abba 因此
??{P[x,?1(x)]?P[x,?2(x)]}dxab?