即
?LPdx?Qdy??(x,y)(x0,y0)Pdx?Qdy?
若起点(x0? y0)为G内的一定点? 终点(x? y)为G内的动点? 则 u(x? y)
??(x,y)(x0,y0)Pdx?Qdy 为G内的的函数?
二元函数u(x? y)的全微分为du(x? y)?ux(x? y)dx?uy(x? y)dy? 表达式P(x? y)dx+Q(x? y)dy与函数的全微分有相同的结构? 但它未必就是某个函数的全微分?
那么在什么条件下表达式P(x? y)dx+Q(x? y)dy是某个二元函数u(x? y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢？
定理3 设开区域G是一个单连通域? 函数P(x? y)及Q(x? y)在G内具有一阶连续偏导数? 则P(x? y)dx?Q(x? y)dy 在G内为某一函数u(x? y)的全微分的充分必要条件是等式
?P??Q ?y?x 在G内恒成立?
简要证明?
必要性? 假设存在某一函数u(x? y)? 使得 du?P(x? y)dx?Q(x? y)dy?
?Q??u?2u?P??(?u)??2u?()??y?y?x?x?y?x?x?y?y?x? 则有 ?
?2u??P?2u??Q 因为?x?y?y、?y?x?x连续? 所以 ?2u??2u?P??Q?x?y?y?x? 即?y?x?
充分性?
?P??QP(x,y)dx?Q(x,y)dy 因为在G内?y?x? 所以积分?L 在G内与路径无关? 在G内从点(x0? y0)到点(x? y)的曲线积分可表示为 考虑函数u(x? y)因为 u(x? y)y??(x,y)(x0,y0)P(x,y)dx?Q(x,y)dy?
??(x,y)(x0,y0)P(x,y)dx?Q(x,y)dyx
??Q(x0,y)dy??P(x,y)dxy0x0?
?u??yQ(x,y)dy??xP(x,y)dx?P(x,y)0?x?x0所以 ?x?x?y0?
?u?Q(x,y) 类似地有?y? 从而du ?P(x? y)dx?Q(x? y)dy? 即P(x?
y)dx?Q(x? y)dy是某一函数的全微分? 求原函数的公式?
u(x,y)??(x,y)(x0,y0)P(x,y)dx?Q(x,y)dyy? ? ?
u(x,y)??P(x,y0)dx??Q(x,y)dyx0y0xu(x,y)??Q(x0,y)dy??P(x,y)dxy0x0yxxdy?ydx22x?y 例6 验证?在右半平面(x>0)内是某个函数的全微分? 并求出
一个这样的函数? 解? 这里
P??yxQ?x2?y2? x2?y2?
因为P、Q在右半平面内具有一阶连续偏导数? 且有
?Qy2?x2?P?222??x(x?y)?y?
xdy?ydx22所以在右半平面内? x?y是某个函数的全微分?
取积分路线为从A(1? 0)到B(x? 0)再到C(x? y)的折线? 则所求函数为
问? 为什么(x0? y0)不取(0? 0)?
例7 验证? 在整个xOy面内? xy2dx?x2ydy是某个函数的全微分? 并求出一个这样的函数? 解 这里P?xy2? Q?x2y?
因为P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数? 且有
?Q?2xy??P?y? ?xu(x,y)??(x,y)(1, 0)yxdyxdy?ydxy?0??2222?arctan0x?yx?yx?
所以在整个xOy面内? xy2dx?x2ydy是某个函数的全微分?
取积分路线为从O(0? 0)到A(x? 0)再到B(x? y)的折线? 则所求函数为
u(x,y)??(x,y)(0, 0)xydx?xydy?0??xydy?x022y22?0yx2y2ydy?2?
四、小结
1.连通区域的概念;
2.二重积分与曲线积分的关系
??(D?Q?P?)dxdy??Pdx?Qdy?L?x?y3. 格林公式的应用.
4. 与路径无关的四个等价命题 五、思考与练习?
在区域G内除M0点外? 如果P(x? y)和Q(x? y)具有一阶连续偏
?Q?P??x?y? G是G内不含M的单连通区域? 那么 导数? 且恒有10
(1)在G 1内的曲线积分?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy是否与路径无关?
P(x,y)dx?Q(x,y)dy?L(2)在G 1内的闭曲线积分是否为零?
(3) 在G 1内P(x? y)dx?Q(x? y)dy是否是某一函数u(x? y)的全微分?
§10? 4 对面积的曲面积分
一、对面积的曲面积分的概念与性质 1.引例. 曲面形构件的质量问题?
设?为面密度非均匀的物质曲面? 其面密度为?(x? y? z)? 求其质量?
把曲面分成n个小块? ?S1? ?S2 ? ? ? ?? ?Sn (?Si也代表曲面的面积)? 求质量的近似值? 取极限求精确值? 大值)?
2.定义 设曲面?是光滑的? 函数f(x? y? z)在?上有界? 把?任意分成n小块? ?S1? ?S2 ? ? ? ?? ?Sn (?Si也代表曲面的面积)? 在?Si上任取一点(?i? ?i? ?i )? 如果当各小块曲面的直径的最大值??0时? 极限
??0i?1??(?i,?i,?i)?Sii?1nn((?i? ?i? ?i )是?Si上任意一点)?
(?为各小块曲面直径的最
M?lim??(?i,?i,?i)?Si??0i?1lim?f(?i,?i,?i)?Sin总存在? 则称此极限为函数f(x? y? z)在曲面?上对面
积的曲面积分或第一类曲面积分? 记作?lim?f(?i,?i,?i)?Si??f(x,y,z)dS???0i?1?n??f(x,y,z)dS? 即
?
其中f(x? y? z)叫做被积函数? ?叫做积分曲面? 3.对面积的曲面积分的存在性?
我们指出当f(x? y? z)在光滑曲面?上连续时对面积的曲面积分是存在的? 今后总假定f(x? y? z)在?上连续?