§10? 2 对坐标的曲线积分
一、对坐标的曲线积分的概念与性质 1.引例：变力沿曲线所作的功?
设一个质点在xOy面内在变力F(x? y)?P(x? y)i?Q(x? y)j的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B? 试求变力F(x? y)所作的功? 用曲线L上的点A?A0? A1? A2? ? ? ?? An?1? An?B把L分成n个小弧段? 设Ak?(xk ? yk)?
?有向线段AkAk?1的长度为??sk? 它与x轴的夹角为?k ? 则
AkAk?1?{cos?k,sin?k}?sk(k?0? 1? 2? ? ? ?? n?1)?
显然? 变力
? AAkF(x? y)沿有向小弧段k?1所作的功可以近似为
?F(xk,yk)?AkAk?1?[P(xk,yk)cos?k?Q(xk,yk)sin?k]?sk?
于是? 变力F(x? y)所作的功 从而
W??L[P(x,y)cos??Q(x,y)sin?]dsW??n?1?F(xk,yk)?AkAk?1k?1??[P(xk,yk)cos?k?Q(xk,yk)sin?k]?skk?1n?1?
?
这里???(x? y)? {cos?? sin?}是曲线L在点(x? y)处的与曲线方向一致的
单位切向量?
把L分成n个小弧段? L1? L2? ? ? ?? Ln? 变力在Li上所作的功近似为?
F(?i? ?i)??si?P(?i? ?i)?xi?Q(?i? ?i)?yi ? 变力在L上所作的功近似为?
?[P(?i,?i)?xi?Q(?i,?i)?yi]i?1n?
变力在L上所作的功的精确值?
W?lim?[P(?i,?i)?xi?Q(?i,?i)?yi]??0i?1n ?
其中?是各小弧段长度的最大值? 提示?
用?si?{?xi??yi}表示从Li的起点到其终点的的向量? 用?si表示?si的模?
2.对坐标的曲线积分的定义?
定义 设函数f(x? y)在有向光滑曲线L上有界? 把L分成n个有向小弧段L1? L2? ? ? ?? Ln? 小弧段Li的起点为(xi?1? yi?1)? 终点为(xi? yi)? ?xi?xi?xi?1? ?yi?yi?yi?1? (?i? ?)为Li上任意一点? ?为各小弧段长度的最大值?
??0 如果极限lim?f(?i,?i)?xii?1n总存在? 则称此极限为函数
f(x? y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分? 记作?Llim?f(?i,?i)?xi?Lf(x,y)dx???0i?1nf(x,y)dx? 即
n?
总存在? 则称此极限为函数
如果极限??0lim?f(?i,?i)?yii?1f(x,y)dy?L f(x? y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分? 记作? 即
lim?f(?i,?i)?yi?Lf(x,y)dy???0i?1n?
设L为xOy面上一条光滑有向曲线? {cos?? sin?}是与曲线方向一致的单位切向量? 函数P(x? y)、Q(x? y)在L上有定义? 如果下列二式右端的积分存在? 我们就定义
?LP(x,y)dx??LP(x,y)cos?ds? ?LQ(x,y)dy??LQ(x,y)sin?ds?
前者称为函数P(x? y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分? 后者称为函数Q(x? y)在有向曲线L上对坐标y的曲线积分? 对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分? 说明： 定义的推广?
设?为空间内一条光滑有向曲线? {cos?? cos?? cos?}是曲线在点(x? y? z)处的与曲线方向一致的单位切向量? 函数P(x? y? z)、Q(x? y? z)、R(x? y? z)在?上有定义? 我们定义(假如各式右端的积分存在)
??P(x,y,z)dx???P(x,y,z)cos?ds?
??Q(x,y,z)dy???Q(x,y,z)cos?ds? ??R(x,y,z)dz???R(x,y,z)cos?ds?
nlim?f(?i,?i,?i)?xi?Lf(x,y,z)dx???0i?1lim?f(?i,?i,?i)?yi?Lf(x,y,z)dy???0i?1lim?f(?i,?i,?i)?zi?Lf(x,y,z)dz???0i?1nn? ? ?
对坐标的曲线积分的简写形式?
?LP(x,y)dx??LQ(x,y)dy??LP(x,y)dx?Q(x,y)dy? ??P(x,y,z)dx???Q(x,y,z)dy???R(x,y,z)dz ??P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz?
?
3.对坐标的曲线积分的性质? (1) 如果把L分成L1和L2? 则
?LPdx?Qdy??LPdx?Qdy??LPdx?Qdy?
12 (2) 设L是有向曲线弧? ?L是与L方向相反的有向曲线弧? 则
二、对坐标的曲线积分的计算?
定理? 设P(x? y)、Q(x? y)是定义在光滑有向曲线 L? x??(t)? y??(t)?
上的连续函数? 当参数t单调地由?变到?时? 点M(x? y)从L的起点
??LP(x,y)dx?Q(x,y)d???LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?
A沿L运动到终点B? 则 讨论? 提示?
?L?LP(x,y)dx??P[?(t),?(t)]??(t)dt??? ?
Q(x,y)dy??Q[?(t),?(t)]??(t)dt???LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?？
?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy??{P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dt???
定理? 若P(x? y)是定义在光滑有向曲线 L? x??(t)? y??(t)(??t??)
上的连续函数? L的方向与t的增加方向一致? 则
?LP(x,y)dx??P[?(t),?(t)]??(t)dt???
简要证明? 不妨设???? 对应于t点与曲线L的方向一致的切向量为{??(t)? ??(t)}?
cos??所以从而
??(t)??2(t)???2(t)?
?LP(x,y)dx??LP(x,y)cos?ds ??P[?(t),?(t)]???
??(t)??2(t)???2(t)dt??2(t)???2(t) ??P[?(t),?(t)]??(t)dt??
应注意的问题?
下限a对应于L的起点? 上限? 对应于L的终点? ?不一定小于
? ?
讨论?
若空间曲线?由参数方程