根据上述定义面密度为连续函数?(x? y? z)的光滑曲面?的质量M可表示为?(x? y? z)在?上对面积的曲面积分?
? 如果?是分片光滑的我们规定函数在?上对面积的曲面积分等于函
M???f(x,y,z)dS数在光滑的各片曲面上对面积的曲面积分之和? 例如设?可分成两片光滑曲面?1及?2(记作???1??2)就规定
?1??2??f(x,y,z)dS???f(x,y,z)dS???f(x,y,z)dS?1?2?
4.对面积的曲面积分的性质? (1)设c 1、c 2为常数? 则
??[c1f(x,y,z)?c2g(x,y,z)]dS?c1??f(x,y,z)dS?c2??g(x,y,z)dS????
(2)若曲面?可分成两片光滑曲面?1及?2? 则
??f(x,y,z)dS???f(x,y,z)dS???f(x,y,z)dS??1?2?
(3)设在曲面?上f(x? y? z)?g(x? y? z)? 则
??f(x,y,z)dS???g(x,y,z)dS???
(4)
??dS?A?? 其中A为曲面?的面积?
二、对面积的曲面积分的计算（化曲面积分为二重积分） 定理? 设曲面?由方程z?z(x? y)给出? ?在xOy面上的投影区域为Dxy? 函数z?z(x? y)在Dxy上具有连续偏导数? 被积函数f(x? y? z)在?上连续? 则
??f(x,y,z)dS???f[x,y,z(x,y)]?Dxy21?zx(x,y)?z2y(x,y)dxdy?
如果积分曲面?的方程为y?y(z? x)? Dzx为?在zOx面上的投影区域? 则函数f(x? y? z)在?上对面积的曲面积分为
22f(x,y,z)dS?f[x,y(z,x),z]1?y(z,x)?y(z,x)dzdxzx?????Dzx ?
如果积分曲面?的方程为x?x(y? z)? Dyz为?在yOz面上的投影区域? 则函数f(x? y? z)在?上对面积的曲面积分为
??f(x,y,z)dS???f[x(y,z),y,z]?Dyz21?x2y(y,z)?xz(y,z)dydz?
例1 计算曲面积分?1dS??z? 其中?是球面x2?y2?z2?a2被平面
z?h(0?h?a)截出的顶部? 解 ?的方程为
zx?z?a2?x2?y2? Dxy ? x2?y2?a2?h2?
? ?
因为 所以
??xa2?x2?y2zy??
?ya2?x2?y22dS?1?zx?z2ydxdy?adxdy222a?x?y1dS?a??z??a2?x2?y2dxdyDxy
?a?d??02?a2?h20rdr?2?a[?1ln(a2?r2)]a2?h2?2?alna0h? 2a2?r221?zx?z2y提示? 例2 计算?2y2xa?1?222?222?a?x?ya?x?ya2?x2?y2?
??xyzdS? 其中?是由平面x?0? y?0? z?0及x?y?z?1所围
成的四面体的整个边界曲面?
解 整个边界曲面?在平面x?0、y?0、z?0及x?y?z?1上的部分依次记为?1、?2、?3及?4? 于是
??xyzdS???xyzdS???xyzdS???xyzdS???xyzdS??1?2?3?4
?0?0?0???xyzdS???3xy(1?x?y)dxdy?4Dxy?3?xdx?011?x0(1?x)3dx?3y(1?x?y)dy?3?0x?6120?
1提示? ?4? z?1?x?y?
22dS?1?z?x?z?ydxdy?3dxdy?
三、小结
1、 对面积的曲面积分的概念;
2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算. （按照曲面的不同情况分为三种） 四、思考与练习
P158 题1；3；4(1) ; 7 P184 题2
§10? 5 对坐标的曲面积分
一、对坐标的曲面积分的概念与性质 1.预备知识
有向曲面?通常我们遇到的曲面都是双侧的? 例如由方程z?z(x? y) 表示的曲面分为上侧与下侧? 设n?(cos?? cos?? cos?)为曲面上的法向量? 在曲面的上侧cos??0? 在曲面的下侧cos??0? 闭曲面有内侧与外侧之分?
类似地? 如果曲面的方程为y?y(z? x)?则曲面分为左侧与右侧? 在曲面的右侧cos??0? 在曲面的左侧cos??0? 如果曲面的方程为x?x(y? z)? 则曲面分为前侧与后侧? 在曲面的前侧cos ??0? 在曲面的后侧cos??0?
设?是有向曲面? 在?上取一小块曲面?S? 把?S投影到xOy面上得一投影区域? 这投影区域的面积记为(??)xy?假定?S上各点处的
法向量与z轴的夹角?的余弦cos?有相同的符号(即cos?都是正的或都是负的)? 我们规定?S在xOy面上的投影(?S)xy为
?(??)xy cos??0?(?S)xy???(??)xy cos??0?0 cos??0? ?
其中cos??0也就是(??)xy?0的情形? 类似地可以定义?S在yOz面及在zOx面上的投影(?S)yz及(?S)zx?
2.引例： 流向曲面一侧的流量? 设稳定流动的不可压缩流体的速度场由
v(x? y? z)?(P(x? y? z) ? Q(x? y? z) ? R(x? y? z))
给出? ?是速度场中的一片有向曲面? 函数P(x? y? z)、Q(x? y? z)、R(x? y? z)都在?上连续? 求在单位时间内流向?指定侧的流体的质量? 即流量??
如果流体流过平面上面积为A的一个闭区域? 且流体在这闭区域上各点处的流速为(常向量)v? 又设n为该平面的单位法向量? 那么在单位时间内流过这闭区域的流体组成一个底面积为A、斜高为|v|的斜柱体?
????2时? 这斜柱体的体积为 当(v?^n)
A|v|cos??A v?n?
?? 当(v?^n)2时? 显然流体通过闭区域A的流向n所指一侧的流量
?为零? 而Av?n?0, 故??Av?n?
?? 当(v?^n)2时? Av?n?0? 这时我们仍把Av?n称为流体通过闭区域