??P(x,y,z)dydz????P[x(y,z),y,z]dydz?Dyz?
如果?由y?y(z? x)给出? 则有
??Q(x,y,z)dzdx????Q[x,y(z,x),z]dzdx?Dzx?
应注意的问题? 应注意符号的确定? 例1? 计算曲面积分???x2dydz?y2dzdx?z2dxdy ? 其中?是长方体?
的整个表面的外侧? ??((x? y? z) |0?x?a? 0?y?b? 0?z?c )?
解? 把?的上下面分别记为?1和?2? 前后面分别记为?3和?4? 左右面分别记为?5和?6?
?1? z?c (0?x?a? 0?y?b)的上侧? ?2? z?0 (0?x?a? 0?y?b)的下侧? ?3? x?a (0?y?b? 0?z?c)的前侧? ?4? x?0 (0?y?b? 0?z?c)的后侧? ?5? y?0 (0?x?a? 0?z?c)的左侧? ?6? y?b (0?x?a? 0?z?c)的右侧?
除?3、?4外? 其余四片曲面在yO z 面上的投影为零? 因此
??x2dydz???y2dydz???x2dyd???a2dydz???0dydz??3?4DyzDyz?a2bc ?
类似地可得
??y2dzdx?b2ac??z2dxdy?c2ab??
??
于是所求曲面积分为(a?b?c)abc?
例2 计算曲面积分?y?0的部分?
??xyzdxdy? 其中?是球面x2?y2?z2?1外侧在x?0?
解 把有向曲面?分成以下两部分?
22?1? z?1?x?y(x?0? y?0)的上侧? (x?0? y?0)的下侧?
22?2? z??1?x?y?1和?2在xOy面上的投影区域都是Dxy ? x2?y2?1(x?0? y?0)? 于是???xyzdxdy???xyzdxdy???xyzdxdy?1?2
???xy1?x2?y2dxdy???xy(?1?x2?y2)dxdyDxyDxy?2??xy1?x2?y2dxdyDxy12?2?2d??r2sin?cos?1?r2rdr?15? 00? 三、两类曲面积分之间的联系
设积分曲面?由方程z?z(x? y)给出的? ?在xOy面上的投影区域为Dxy ? 函数z?z(x? y)在Dxy上具有一阶连续偏导数? 被积函数R(x? y? z)在?上连续?
如果?取上侧? 则有
??R(x,y,z)dxdy???R[x,y,z(x,y)]dxdy?Dxy?
另一方面? 因上述有向曲面?的法向量的方向余弦为
cos???zx21?zx?z2ycos???zy21?zx?z2ycos?? ? ?
121?zx?z2y?
故由对面积的曲面积分计算公式有
??R(x,y,z)cos?dS???R[x,y,z(x,y)]dxdy?Dxy?
由此可见? 有
??R(x,y,z)dxdy???R(x,y,z)cos?dS???
如果?取下侧? 则有 但这时
???R(x,y,z)dxdy????R[x,y,z(x,y)]dxdy?Dxy?
cos???121?zx?z2y? 因此仍有
???R(x,y,z)dxdy???R(x,y,z)cos?dS?
类似地可推得
??P(x,y,z)dydz???P(x,y,z)cos?dS??? ?
??Q(x,y,z)dzdx???P(x,y,z)cos?dS??综合起来有
??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???(Pcos??Qcos??Rcos?)dS???
其中cos ?、cos ?、cos ?是有向曲面?上点(x? y? z)处的法向量的方向余弦?
两类曲面积分之间的联系也可写成如下向量的形式?
??A?dS???A?ndS??? 或???A?dS???AndS??
其中A?(P? Q? R)? n?(cos ?? cos ?? cos ?)是有向曲面?上点(x? y? z)处的单位法向量?
dS?ndS?(dydz? dzdx? dxdy)? 称为有向曲面元? An为向量A在向量n上
的投影?
??(z2?x)dydz?zdxdy 例3 计算曲面积分?? 其中?是
z?1(x2曲面2?y2)介于平面z?0及z?2之间的部分的下侧?
解 由两类曲面积分之间的关系? 可得 ??(z2?x)dydz?(z2?x)cos?dS?(z2cos?dxdy
????x)????cos??
在曲面?上?
提示? 曲面上向下的法向量为(x? y? ?1) )
cos??x 1?x2?y2cos???1?
1?x2?y2? dS?1?x2?y2dxdy?
故
??(z2?x)dydz?zdxdy????[(z2?x)(?x)?z]dxdy? ?
x?y2?4(x2?y2)2?x]?(?x)?12??{[142(x2?y2)}dxdy ?[x2?1(x2?y2)]dxdy2?21 x2???y2?42??0d??0(r2cos2??2r2)rdr?8?? 四、小结
1、物理意义
2、计算时应注意以下两点
曲面的侧
“一投,二代,三定号” 五、思考与练习
222设?为球面x?y?z?1，若以其球面的外侧为正侧，试问
y?1?x2?z2之左侧（即oy轴与其法线成钝角的一侧）是正侧22y??1?x?z吗？那么的左侧是正侧吗？
§10? 6 高斯公式 通量与散度
一、高斯公式
定理1设空间闭区域?是由分片光滑的闭曲面?所围成? 函数P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在?上具有一阶连续偏导数? 则有 或
???(??P?Q?R??)dv???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?x?y?z??
???(??P?x??Q?y??R?z)dv???(Pcos??Qcos??Rcos?)dS??
简要证明 设?是一柱体? 上边界曲面为?1? z?z2(x, y)? 下边界曲面为?2? z?z1(x, y)? 侧面为柱面?3? ?1取下侧? ?2取上侧? ?3取外侧? 根据三重积分的计算法? 有
?Rdv??????z
?Dxy??dxdy??Rdzz1(x,y)?zz2(x,y) ?
Dxy??{R[x,y,z2(x,y)]?R[x,y,z1(x,y)]}dxdy另一方面? 有
??R(x,y,z)dxdy????R[x,y,z(x,y)]dxdy1?1Dxy?