????Pdxdy??PdxL?yD?
设D?{(x? y)|?1(y)?x??2(y)? c?y?d}? 类似地可证
?Q???xdxdy??LQdxD?
由于D即是X－型的又是Y－型的? 所以以上两式同时成立? 两式合并即得
??Q?P???dxdy??Pdx?Qdy???L?x?y?D? ?
应注意的问题?
（1）对复连通区域D? 格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分? 且边界的方向对区域D来说都是正向?
（2）设区域D的边界曲线为L? 取P??y? Q?x? 则由格林公式得
2??dxdy??xdy?ydxDL? 或
A???dxdy?1?xdy?ydx2LD?
例1? 椭圆x?a cos? ? y?b sin? 所围成图形的面积A?
?Q?P?Q?P(?)dxdy???dxdy?A??1???x?yD 分析? 只要?x?y? 就有D?
解? 设D是由椭圆x=acos? ? y=bsin? 所围成的区域?
?Q?P11????1P??1yQ?1x?x?y22? 2? 2? 则令
于是由格林公式?
A???dxdy???1ydx?1xdy?1??ydx?xdyL222LD 2?2?1??(absin2??abcos2?)d??1ab?d?20 20??ab?
例2 设L是任意一条分段光滑的闭曲线? 证明
?L2xydx?x2dy?0?
?Q?P??2x?2x?02?x?y 证? 令P?2xy? Q?x? 则?
因此? 由格林公式有“?”号？ ) 例3? 计算D?L2xydx?x2dy????0dxdy?0D? (为什么二重积分前有
??e?ydxdy2? 其中D是以O(0? 0)? A(1? 1)? B(0? 1)为顶点的三
角形闭区域?
?Q?P?y2??e?y2Q?xe?x?y 分析? 要使? 只需P?0? ?
?yQ?xe 解? 令P?0?
2?Q?P?y2??e?x?y? 则? 因此? 由格林公式有
22
??e?ydxdy?D2OA?AB?BO1(1?e?1)?y?y?xxedy?xedy?xedx????0212OA?
xdy?ydx?Lx2?y2 例4 计算? 其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原
点的连续闭曲线? L的方向为逆时针方向?
?y?Qy2?x2?Px?222?P?22Q?2222?x(x?y)?y? x?yx?y解? 令? ? 则当x?y?0时? 有
记L 所围成的闭区域为D? 当(0? 0)?D时? 由格林公式得
xdy?ydx?Lx2?y2?0?
当(0? 0)?D时? 在D内取一圆周l? x2?y2?r 2(r>0)? 由L及l围成了一个复连通区域D 1? 应用格林公式得
xdy?ydxxdy?ydx?Lx2?y2??lx2?y2?0?
其中l的方向取逆时针方向?
xdy?ydxxdy?ydx2?r2cos2??r2sin2??d??Lx2?y2?lx2?y2??02r于是 ?2??
二、平面上曲线积分与路径无关的条件 曲线积分与路径无关?
设G是一个开区域? P(x? y)、Q(x? y)在区域G内具有一阶连续偏导数? 如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L 1、L 2? 等式
?LPdx?Qdy??LPdx?Qdy 12Pdx?Qdy?L恒成立? 就说曲线积分在G内与路径无关? 否则说与路径
有关?
设曲线积分?LPdx?Qdy在G内与路径无关? L 1和L 2是G内任意两
条从点A到点B的曲线? 则有 因为
?LPdx?Qdy??LPdx?Qdy?
12?LPdx?Qdy??LPdx?Qdy??LPdx?Qdy??LPdx?Qdy?0
1212?Pdx?Qdy???LL ?
1Pdx?Qdy?02??L?(L1?2)Pdx?Qdy?0?
所以有以下结论? 曲线积分?LPdx?Qdy在G内与路径无关相当于沿G内任意
Pdx?Qdy?L闭曲线C的曲线积分等于零?
定理2 设开区域G是一个单连通域? 函数P(x? y)及Q(x? y)在G内
Pdx?Qdy?L具有一阶连续偏导数? 则曲线积分在G内与路径无关（或
沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分必要条件是等式
?P??Q ?y?x 在G内恒成立? 充分性易证?
?Q?P?P??Q??0?y?x?x?y 若? 则? 由格林公式? 对任意闭曲线L?
有
??Q?P?Pdx?Qdy???dxdy?0?L????x?y?D??
必要性?
?Q?P????0?x?y 假设存在一点M0?G? 使? 不妨设?>0? ?Q?P??x?y的连续性? 存在M的一个? 邻域U(M, ?)? 则由00
?Q?P????x?y2? 于是沿邻域U(M, ?)边界l 的闭曲线积分 使在此邻域内有0
?Pdx?Qdy?lU(M0,?)??(?Q?P??)dxdy????2?0?x?y2?
?Q?P??0?x?y这与闭曲线积分为零相矛盾? 因此在G内?
注意?
定理要求? 区域G是单连通区域? 且函数P(x? y)及Q(x? y)在G内具有一阶连续偏导数? 如果这两个条件之一不能满足? 那么定理的结论不能保证成立?
?P?Q 破坏函数P、Q及?y、?x连续性的点称为奇点?
2xydx?x2dy? 例5 计算L? 其中L为抛物线y?x2上从O(0? 0)到B(1? 1)的
一段弧?
?P??Q?2x 解? 因为?y?x在整个xOy面内都成立?
所以在整个xOy面内? 积分?L
2xydx?x2dy与路径无关?
?L2xydx?x2dy??OA2xydx?x2dy??AB2xydx?x2dy
??12dy?101?
讨论? 设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线? L
xdy?ydx?Lx2?y2?0的方向为逆时针方向? 问是否一定成立？
提示? 这里
P??yxQ?x2?y2在点(0? 0)不连续? x2?y2和?Qy2?x2?P?222?22?x(x?y)?y? 所以如果(0? 0)不在L所围成的因为当x?y?0时?
区域内? 则结论成立? 而当(0? 0)在L所围成的区域内时? 结论未必成立?
三、二元函数的全微分求积
曲线积分在G内与路径无关? 表明曲线积分的值只与起点从点(x0? y0)与终点(x? y)有关?
Pdx?QdyPdx?Qdy??(x,y)L 如果与路径无关? 则把它记为 00(x,y)