第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制
1.1.1 任意角
一、角
1、定义：平面内一条射线绕着_____从一个位置旋转到另一个位置所成的图形称为角，所旋转射线的端点叫做角的_________，开始位置的射线叫做角的______，终止位置的射线叫做角的______．如图所示． 2、分类
（1）：正角：按____时针方向旋转形成的角 （2）负角：按____时针方向旋转形成的角
（3）零角：一条射线没有作任何_____形成的角
3、记法：用一个希腊字母表示，如α、β、γ、…；也可用3个大写的英文字母表示(字母前面要写“∠”)，其中中间字母表示角的顶点，如∠AOB、∠DEF、…. 二、象限角
1、使角的顶点与______重合，角的始边与______轴的非负半轴重合．那么，角的______(除原点外)在第几象限，就说这个角是第几____________，即象限角的终边在第一或第二或第三或第四象限内，不与____________重合．
2、如果角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限． 3、终边相同的角
(1)研究终边相同的角的前提条件是：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合． (2)终边相同的角的集合：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝___________，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
4、理解集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}要注意以下几点： (1)式中角α为任意角；
(2)k∈Z这一条件必不可少； (3)k·360°与α之间是“＋”，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，即与－30°角终边相同；
(4)当α与β的终边相同时，α－β＝k·360°(k∈Z)．反之亦然．
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5、区域角及其表示方法
区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步： (1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α (3)起始、终止边界对应角α、β再加上360°的整数倍，即得区间角集合． 题型一、任意角 例1、写出图(1)、(2)中的角α、β、γ的度数． 变式1、(1)时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为________，分针转过的角的度数为________． (2)如图，射线OA绕顶点O逆时针旋转45°到OB位置，并在此基础上顺时针旋转120°到达OC位置，则∠AOC＝________. 题型二、终边相同的角 例2、(1)与－457°角的终边相同的角的集合是( ) A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z} B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z} C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z} D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z} (2)已知α＝－1 910°，①把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，指出它是第几象限角；②求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°. (3)若角α的终边在函数y＝－x的图象上，试写出角α的集合． 变式2、(1)与405°角终边相同的角是( ) A．k·360°－45°，k∈Z B．k·360°±405°，k∈Z C．k·360°＋45°，k∈Z D．k·180°＋45°，k∈Z (2)已知角α＝2016°. ①把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角； ②求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°. (3)已知角β的终边在直线x－y＝0上． ①写出角β的集合S；②写出S中适合不等式－360°≤β<720°的元素． 题型三、区域角的表示 例3、若角α的终边在下图中阴影所表示的范围内，则α角组成的集合为________． 2 变式3、写出图中阴影区域所表示角α的集合(包括边界)． 题型四、判断角所在的象限 α 例4、若角α是第一象限，问－α、2α、是第几象限角？ 3 φ 变式4、若φ是第二象限角，那么和90°－φ都不是( ) 2 A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 例5、已知集合A＝{α|α＝k·180°±45°，k∈Z}，集合B＝{β|β＝k·90°＋45°，k∈Z}，则A与B的关系正确的是( ) A．A?B B．B?A C．A＝B D．A?B且B?A 变式5、已知集合A＝{α|k·180°＋30°<α 课堂练习 1．下列命题中，正确的是( ) A．第一象限角必是锐角 B．终边相同的角必相等 C．相等角的终边位置必相同 D．不相等的角其终边位置必不相同 2．－215°是( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 3．下列各组角中，终边相同的是( ) A．390°，690° B．－330°，750° C．480°，－420° D．3000°，－840° 4．若α是第三象限角，则－α是( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 5．如图所示，终边落在阴影部分的角的集合是( ) A．{α|－45°≤α≤120°} B．{α|120°≤α≤315°} C．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z} D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z} 课后作业 基础巩固 一、选择题 1．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC 3 位置，则∠AOC＝( ) A．150° B．－150° C．390° D．－390° 2．下列说法正确的个数是( ) ①小于90°的角是锐角 ②钝角一定大于第一象限的角③第二象限的角一定大于第一象限的角 ④始边与终边重合的角为0° A．0 B．1 C．2 D．3 3．下列各角中，与60°角终边相同的角是( ) A．－300° B．－60° C．600° D．1 380° 4．若角α和角β的终边关于x轴对称，则角α可以用角β表示为( ) A．k·360°＋β(k∈Z) B．k·360°－β(k∈Z) C．k·180°＋β(k∈Z) D．k·180°－β(k∈Z) 5．把－1485°转化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是( ) A．45°－4×360° B．－45°－4×360° C．－45°－5×360° D．315°－5×360° 6．若α是第三象限角，则 α 是( ) 2 A．第一或第三象限角 B．第二或第三象限角C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 二、填空题 7．将90°角的终边按顺时针方向旋转30°所得的角等于________． 8．若α、β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝______________. 三、解答题 9．在坐标系中画出下列各角： (1)－180°；(2)1 070°. 10．在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)360°～720°的角． 能力提升 一、选择题 1．已知A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，那么A、B、C的关系是( ) A．B＝A∩C B．B∪C＝C C．A?C D．A＝B＝C 4 2．已知角2α的终边在x轴上方，那么角α的范围是( ) A．第一象限角的集合 B．第一或第二象限角的集合 C．第一或第三象限角的集合 D．第一或第四象限角的集合 3．如果角α与x＋45°具有同一条终边，角β与x－45°具有同一条终边，则α与β的关系是( ) A．α＋β＝0 B．α－β＝0 C．α＋β＝k·360°(k∈Z) D．α－β＝k·360°＋90°(k∈Z) 4．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B等于( ) A．{－36°，54°} B．{－126°，144°} C．{－126°，－36°，54°，144°} D．{－126°，54°} 二、填空题 5．已知θ为小于360°的正角，这个角的4倍角与这个角的终边关于x轴对称，那么θ＝________. 6．已知角β的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么β∈________. 三、解答题 7．已知角α的终边与y轴的正半轴的夹角为30°，且终边落在第二象限，又－720°<α<0°，试求角α. 8．在角的集合{α|a＝k·90°＋45°，k∈Z}中．(1)有几种终边不相同的角？(2)有几个落在－360°～360°之间的角？(3)写出其中是第二象限的一般表示方法． 1.1.2 弧度制 5