a?1aa?bb3?3?2?3，所以???3 ba?ba?11?3b另解：由a2?b2?4ab??a?b??6ab，?a?b??2ab， 因为 a＜b＜0，所以
22a?b??6ab，a?b??2ab， 故
a?b?6ab??3。 a?b?2ab4、解: 因为x2?xy?y?14,y2?xy?x?28,两式相加, 得
(x?y)2?(x?y)?42,解这个关于x?y的一元二次方程,得x?y??7,或x?y?6
5、解：a,b是关于x的方程(x?1)2?3(x?1)?3?0，即x?5x?1?0，所以 a?b??5,ab?1，故a,b均为负数，
2babaa2?b2??ab?ab?? b?aabababab??(a?b)2?2abab??23
32x?x?3x?0， 6、解：得x3?x2?3x?0，（1）当x＞0时，y?3?x代入xy?x3?0，
方程x?x?3?0无实根；（2）当x＜0时，x?x?3x?0，解方程x?x?3x?0得
2322x?1?137?131?131?13，舍去正根，得x?，y?3?x?3?， ?2222故x?y?4?13．
?(a?b)2?ab?1227、解: 一方面,由题设得?消去ab,得t?3?2(a?b)，因为(a?b)?0,2?t?3ab?(a?b)?(a?b)2?3ab?12ab故t?3?0,t?3．另一方面,又由题设得?消去,得， 因3t?1??2(a?b)2?t??ab?(a?b)2为?2(a?b)?0,故3t?1?0,t??,于是?3?t??.
13138、解: x?y?a,xy?b(a,b均为正整数),由题设得a?b?23,ab?120因此,a b是一元二方程t?23t?120?0的两个正整数根，解这个方程得t?8,t?15, 因为a＜b, 得a?8,b?15故
2x2?y2?(x?y)2?2xy?a2?2b?34．
20
?9??9??3??3?9、解：由条件得3????m????2?0，①3???m???2?0，②
?5??5??7??7?由①得m?422138，由②得m?3，而m为整数，故m?4． 452110、解：∵x?y?5?z，xy?3?z(x?y)?3?z(5?z)?z2?5z?3，∴x,y是关于t的方程 t2?(5?z)t?z2?5z?3?0的两个实数根， ∵ ??(5?z)2?4(z2?5z?3)?0，
2即 3z?10z?13?0，(3z?13)(z?1)?0， ∴ z?13113， 当x?y?时， z?，故333Z的最大值是z?
13 310、判别式与韦达定理
例题讲练
例1 设m是不小于－1的实数，使得关于x的方程x2?2(m?2)x?m2?3m?3?0 有两个不相等的实数根x1、x2.
（1）若x1?x222mx1mx2（2）求的最大值 ?6, 求m的值；?1?x11?x22222解：??4(m?2)?4(m?3m?3)??4(m?1)＞0， 解得m＜1，又－1≤m＜1， (1)x1?x2?(x1?x2)2?2x1x2?2m?10m?10＝6， 解得m?22225?175?17, 由－1≤m＜1，所以m?, 222mx1mx2mx1(1?x2)?x2(1?x1)mx1?x2?x1x2(x1?x2)(2) ???(1?x1)(1?x2)x1x2?(x1?x2)?11?x11?x2m(2m2?10m?10)?(m2?3m?3)(2m?4) ＝ 2(m?3m?3)?(2m?4)?12m(m?1)(m2?3m?1)3?5? ??2(m2?3m?1)＝2?m???,
m(m?1)2?2?2?22??22???mx1mx2因为－1≤m＜1，所以当m??1时，有最大值，最大值为10. ?1?x11?x2
21
22 思考练习
1、设x1, x2是关于x的一元二次方程x?ax?a?2的两个实数根， 求（x1?2x2)(x2?2x1)的最大值.
2、设x,x2是方程x?x?3?0两根，求x1?4x2?19的值. 3、如果方程x2?px?1?0(p＞0)的两根之差为1，那么p=？ 4、a是大于0的实数，已知存在惟一的实数k, 使得关于x的方程
2232x2?(k2?ak)x?1999?k2?ak?0两个根均为质数，求a的值.
5、已知a,b为整数，且a＞b, 方程3x2?3(a?b)x?4ab?0的两根?,?满足关系式
?（??1）??（??1）?（??1）(??1) 试求所有的整数点对（a,b）
6、已知?a?b?8?2bx?cx?a?0的根. ，求方程2?ab?c?82c?48答案提示
1、解：由??a2?4(a?2)?(a?2)2?4＞0知，a为任意实数，x1?x2??a，
x1x2?a?2， （x1?2x2)(x2?2x1)??2x1?2x2?5x1x2??2(x1?x2)2?9x1x2
9649?63?. （x1?2x2)(x2?2x1)取最大值???2a2?9(a?2)??2?a???，当a?时，
4848??2、因为x1?x1?3?0, x2?x2?3?0, 即x1?3?x1,x2?3?x2，所以
2222222x1?4x2?19?x1(3?x1)?4(3?x2)?19?3x1?x1?4x2?7
?3x1?(3?x1)?4x2?7?4(x1?x2)?4，∵x1?x2??1, ∴x1?4x2?19＝0
32322?p?p2?43、因为x?，由x1?x2?2p2?4?1,解得 p?5.
?p?q??k2?ak4、设方程的两个质数根为p、q，则? 消去a、k，得2?pq?1999?k?ak43p?q?pq?1999, 所以(p?1)(q?1)?2000?2?5，可见p、q均不能为2，故必同为奇
p?1q?1p?1q?1p?1q?1??53, 不妨和均为偶数，从而又有均为整数，且
224444p?1p?1q?1p?1399, 均为质数，设p≤q，则＝1或5，若＝1，则＝5，得p?3,q?4若
4424数，从而
22
＝5，则
q?12＝5，得p?19,q?99为合数，由此可知，p?3,q?499，从而2k2?ak?502?0, 依题意，此关于k的方程有惟一的实数根，所以??a2?4?502?0, 得
a?2502.
5、因为?????(a?b),???4ab, 由条件得 (???)2?3???1, 前式代入后式得3所以a－b＝1，判别式Δ＞0，得（（a?b)2?4ab?1,即(a?b)2?1, 因为a＞b，3a?b)2≥
16ab, 从而得(a?b)2≤4, 所以－2≤a?b≤2, 可见满足条件的整数对（a,b）只能是（1，0）
或（0，－1）
6、易见a,b是关于t的方程t?8t?c?82c?48?0的两个实数根, 由
22?ab?16?a?4 解得? ??64?4(c?82c?48)??4(c?42)≥0, 得c?42，从而?a?b?8b?4??22解方程4x?42x?4?0, 得x1?
22?6?2?6, x2??.
2211、二次方程根的讨论
例题讲练
例1 关于x的方程(a?1)x?2x?a?1?0的根都是整数，问符合条件的整数有几个？ 解：当a?1时，x?1符合条件；
当a?1时，易知x?1是方程的一个整数根，而另一根为x?22?1, 因为x是整数，所1?a以1?a??1,?2, 得a＝－1，0，2，3，所以符合条件的整数有5个。
例2 已知方程ax?(3a?8a)x?2a?13a?15?0(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a.
解：显然a≠0，解方程得 x1?22222a?33a?55?2?, x2??1? aaaa2要使两根中至少有一个是整数，a的值应为1，3，或5，
例3 已知m、n是有理数，并且方程x?mx?n?0有一根是5?2，求m?n 解：因为m、n是有理数，方程有一根是5?2，那么另一根是－5?2， 于是 －m=－4， n??1, 所以m?n＝3.
23
思考练习
1、求所有正实数a，使得方程x?ax?4a?0仅有整数根.
2、试确定一切有理数r, 使得关于x的方程rx2?(r?2)x?r?1?0有根且只有整数根.
2?x??x?3、已知关于x的方程(a2?1)???(2a?7)???1?0有实数根, (1)求a的取值范
x?1x?1????围；(2)若原方程的两个实数根为x1,x2且
2x1x3?2?，求a的值. x1?1x2?1114、设关于x二次方程(k2?6k?8)x2?(2k2?6k?4)x?k2?4的两个根都是整数，求满足条件是所有实数k的值. 答案提示
1、解：设两整数根为x,x2, 且x1?x2, 则x1?x2?a＞0，即有x1x2?4a＞0，
a?x2?a, 2a4a?x1x2?x1a, 4a?x1x2?x1?, 所以4?x1?8,显然x1?4,故x1可取5，6，7，8，依
2x152次得a1???25, x2?20; a2?18,x2?12; a3不是整数；a4?16,x2?8
x1?45?4故a的取值有三个：25，18，16.
21
不是整数, 若r?0, 设方程的两整数根为x1, 2
r?2r?1, x1?x2?，于是2x1x2?(x1?x2)? x2(x1≤x2), 则x1?x2??rrr?1r?22???3，即4x1x2?2(x1?x2)?1?7，(2x1?1)(2x2?1)?7，x1, x2是整数, 且
rr2、解: 若r?0, 则方程为2x?1?0, x?
?2x1?1?1?2x1?1??7?x1?1?x1??3 ；?； 解得? ；? x1≤x2，则?2x?1?72x?1??1x?4x?0?2?2?2?2r?11?x1x2?4或0, r??或r?1. r3x?t(t?1), 则原方程化为 (a2?1)t2?(2a?7)t?1?0 3、解: （1）令
x?1x1x12?或? 当a?1?0, 即a??1时, 方程为?9t?1?0或?5t?1?0 即
x?19x?1511所以x??或x?? 故当a??1时, 原方程有实数根, 当a??1时,
845322；当t?1,有a?1??2a?7??1?0,解得 ?????2a?7???4a2?1≥0, 得a≥?2853a?1?22，而1?22≥?, 所以a?1?22.
28所以
???? 24