综上所述，所以 a≥?（2）易见t1?于是有
53 且 a?1?22时, 原方程有实数根. 28x1x,t2?2是方程(a2?1)t2?(2a?7)t?1?0的两根， x1?1x2?12a?7382?a?10,a??3a?22a?80?0，即，解得 1223a?111538538由（1）知a≥?且 a?1?22，而a2??＜?，所以a??，故a?10为所求.
2832834、解：(k?4)(k?2)x2?(2k2?6k?4)x?(k?2)(k?2)?0，
?(k?4)x?(k?2)???(k?2)x?(k?2)??0 因为 (k?4)(k?2)?0所以
x1??k?22k?2422??1???1?; x2??，得k?4??, k?2?? k?4k?4k?2k?2x1?1x2?1(x1?1,x2??1)，消去k得，x1x2?3x1?2?0，x1(x2?3)??2，由于x1、x2都是整数，
故??x1?1?x1?2?x1?1?x1??2?x1??2?x1?2 ? ? ? ? ?；
x?3??2x?3??1x??5?2?2?x2?3?1?2?x2??2?x2??4k?6, 3,
10. 312、点坐标与函数
例题讲练
例1 在直角坐标系xOy中，x轴上的动点M（x，0）到定点P（5，5），Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么，当MP＋MQ取最小值时，求点M的横坐标x.
//解：点Q（2，1）关于x轴的对称点Q的坐标为（2，-1），设直线PQ的方程为y?kx?b, //将P（5，5），Q（2，-1）的坐标代入，解得 k?2,b??5,所以直线PQ的方程为y?2x?5,
?y?0?5?由? 得M点的坐标为?,0?.
?2??y?2x?5例2 一个一次函数的图象与直线y?595x?平行，与x轴、y轴的交点分别为A,B，并44（?1，?25）且过点，则在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有多少个？
解：设这个一次函数为y?595（?1，?25）x?b, 因为直线过点，所以b??, 可求得A
44 25
955(x?19)），由y?知，x?19能被4整除. 又因为x是整数，且0≤x≤4419，所以取x＝3，7，11，15，19时，y是整数．因此在线段AB上（包括端点A、B），横、
（19，0）B（0，?纵坐标都是整数的点有5个.
思考练习
1、若abc≠0，且
a?bb?cc?a???p, 则直线y?px?p一定通过（ ） cab（A）第一，二象限 （B）第二，三象限 （C）第三，四象限 （D）第一，四象限 2、在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O为坐标原点，A、C分别在横轴和纵轴上，点B的坐标为（15，6），直线y?1x?b恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，求b的值. 33、已知边长为1的正方形OABC在直角坐标系中，A、B两点在第一象限内，OA与x轴的夹角为30，求B点的坐标.
4、（03竞赛）若函数y?kx（k＞0）与函数y?01的图象相交于A、C两点，AB垂直xx2轴于B，则ΔABC的面积为（ ） (A) 1 (B) 2 (C) k (D) k
答案提示
1、由a?b?pc,b?c?pa,c?a?pb, 三式相加得2(a?b?c)?p(a?b?c)，所以
p?2, 或a?b?c?0；当p?2时，直线y?2x?2通过第一，二，三象限；当a?b?c?0
时，p??1, 直线y??x?1通过第二，三，四象限；可见，直线一定通过二，三象限.
1111x与矩形的边BA交于点（15，5），则BD＝1，所以当b?时，直线y?x?323211过点（0，）和（15，5），它恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分.
222、直线y?3、分别过A、B、作x的垂线，垂足为D、E，作AF⊥BE于F，易知，RtΔAFB≌RtΔADO，
0所以FB?OD, FA?ED?DA, 在RtΔADO中，OA?1, ?AOD?30,所以
FA?ED?DA?133?10, FB?OD?OAcos30?, OE?OD?ED? 222?3?13?1?1?3? ，, 所以EB?EF?FB?DA?FB?,故 B点的坐标是??2?2?2?
26
13、二次函数（1）
例题讲练
例1 一条抛物线y?ax2?bx?c的顶点为(4,-11), 且与X轴的两个交点的横坐标为一正一负, 则a,b,c中为正数的( )
(A) 只有a (B) 只有b (C) 只有c (D) 只有a和b 解：由于抛物线顶点为(4,-11), 与X轴有两个交点，知a＞0， 设抛物线与X轴的两个交点坐标为x1，x2，则x1?x2?又由对称轴x?4，得?c＜0，所以c＜0， ay
b＞0，知b＜0，可见只有a＞0. 2a例2 已知二次函数y?ax2?bx?c的图像如图所示, 并设M?a?b?c?a?b?c?2a?b?2a?b , 则( )
(A) M＞0， (B) M＝0， (C) M＜0， (D) 不能确定. 解: 由图像得 a＞0, 0＜?-1 1 x
b＜1, ∴ b＜0, 2a?b＞0, 2a?b＞0, 2a当 x?1时, y?a?b?c＜0; 当x??1时, y?a?b?c＞0,
∴M = ?(a?b?c)?(a?b?c)?(2a?b)?(2a?b)??2(a?b?c)＜0. 选(C)
思考练习
1、已知a,b为抛物线y?(x?c)(x?c?d)?2与x轴交点的横坐标，a＜b， 求a?c?c?b的值.
2、一条抛物线y?ax?bx?c的顶点为(4,－11)，且与X轴的两个交点的横坐标为一正一负, 则a、b、c中为正数的是( )
(A) 只有a (B) 只有b (C)只有c (D)只有a和b
答案提示
1、当x?c时，y??2, 即点（c，?2）在抛物线上，且位于x轴下方，
又因为抛物线y?(x?c)(x?c?d)?2开口向上，由图像知，c介于a, b之间，即a＜c＜b，所以a?c?c?b??(a?c)?(c?b)?b?a.
2、解：由于抛物线顶点为(4,-11), 与X轴有两个交点，知a＞0，设抛物线与X轴的两个交点坐标为x1，x2，则x1?x2?可见只有a＞0
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2cb＜0，所以c＜0，又由对称轴x?4，得?＞0，知b＜0，a2a14、二次函数（2）
例题讲练
例1 设P是实数, 二次函数y?x2?2px?p的图像与x有两个不同的交点A(x1, 0), B(x2, 0)，（1）求证：2px1?x2?3p＞0；（2）若A、B两点之间的距离不超过2p?3, 求p的最大值.
解：(1) 抛物线y?x2?2px?p与x有两个不同的交点A(x1, 0), B(x2, 0) ， ∴??(?2p)2?4(?p)?4p2?4p＞0， 又 ∵x1?x2?2p, x1x2??p,
故 2px1?x2?3p?2px1?(2px2?p)?3p?2p(x1?x2)?4p?4p2?4p＞0； (2) ∵AB?x2?x1?22(x1?x2)2?4x1x2?4p2?4p
9，又当 162∴4p?4p≤2p?3 即 4p2?4p?4p2?12p?9 所以p≤
p ＝
99时，满足题目条件，故p的最大值为. 1616例2 证明：(1)若x取任意整数时，二次函数y?ax2?bx?c总取整数值，那么2a、
a?b、c都是整数. (2) 写出上述命题的逆命题, 并判断真假, 且证明你的结论.
证明：（1）当x?0时，y0?c为整数；当x?1时，y1?a?b?c为整数；当x??1时,
y?1?a?b?c为整数；∴a?b＝y?1?y0, 2a?y1?y?1?2y0都是整数，故2a、a?b、c都是整数.
（2）逆命题为：若2a、a?b、c都是整数，则x取任意整数时，二次函数y?ax?bx?c的值总是整数。这是真命题. 证明如下:
21y?ax2?bx?c?ax2?ax?ax?bx?c?2a?x(x?1)?(a?b)x?c
21当x取整数时，x(x?1)一定是偶数，则x(x?1)必为整数，又∵2a、a?b、c都是整数，
2∴x取任意整数时，二次函数y?ax?bx?c总取整数值.
思考练习
21、直线y??2x?3与抛物线y?x相交于A、B两点，O为坐标原点，求ΔOAB的面积.
222、如果抛物线y?x?(k?1)x?k?1与x轴的交点为A、B，顶点为C，求ΔABC的面积的最小值
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3、（03竞赛）抛物线y?ax2?bx?c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若ΔABC是直角三角形，则ac? _____
4、设抛物线y?x?(2a?1)x?2a?（1）求a的值；（2）求a1825的图像与x轴只有一个公共点， 4?323a?6的值
5、抛物线y?x2?ax?2b和y?x2?2bx?a都与x轴有公共交点，若a,b是正数，求
a2?b2的最小值
答案提示
1、直线y??2x?3与抛物线y?x2的交点分别为A（1，1）、B（－3，9）分别作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于于F，则S?OAB?S梯形AEFB?S?AEO?S?BFO?6.
2、首先 由??(k?1)2?4(k?1)?(k?1)2?4＞0知，抛物线与x轴总有两个交点A（x1，0）、B（x2，0），则x1?x2?k?1，x1x2??k?1，故AB?x1?x2?(x1?x2)2?4x1x2
k2?2k?5 ， ?k?2k?5，配方得顶点C 的纵坐标为 ?42∴S?ABC12k2?2k?51?k?2k?5???(k2?2k?5)3， 248134?1. 8∵k2?2k?5?(k?1)2?4?4，k??1 时等号成立， ∴S?ABC?3、2、解；设A(x1,0)，B(x2,0)，由?ABC是直角三角形可知x1，x2必引号，故
x1?x2?c?0，又OCa2?AO?BO，即c2?x1?x2?c，故ac?1，ac??1． a4、（1）由??(2a?1)?4?2a?22??1?55?2a?a?1?0,即, 得. a??0?24?422（2）由上可知a?a?1, 反复用此式可得a?(a?1)?a?2a?1?3a?2，?，
a18?(987a?610)(a?1)?2584a?1597，又a?6?22111?? 6(3a?2)(a?1)8a?5a∵a?a?1?0， ∴64a?64a?65??1， 即(8a?5)(8a?13)??1， ∴a
?6??8a?13， ∴ a18?323a?6?2584a?1597?323(?8a?13)?5796
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