24225、∵a2?8b?0,4b?4a?0, 则a?64b?64a，∴a?4, ∴b?a?4，
故a?b≥20；当且仅当a?4,b?2时，等号成立，这时两抛物线都是y?x2?4x?4，与x轴有公共点，故a?b的最小值是20.
222215、数的大小比较
基本原理 求差法：若A－B＞0，则A＞B；若A－B＝0，则A＝B；
若A－B＜0，则A＜B.
例题讲解
例1 设a、b、c的平均数为M, a、b的平均数为N，N、C的平均数为P, 若a?b?c. 讨论M与P的大小关系.
a?b?ca?b?2ca?b?2c??（a?b?c） 3412a?b?2cc?c?2c??0， 故M?P?0,即M?P. ∴
1212解：M?P?例2 已知a,b,c,d是四个不相等的正数，其中a最大，d最小，且满足条件比较a?d与b?c的大小关系.
解：设
ac?，试bdac??k，则a?bk，c?dk，∵a最大，d最小，且a,b,c,d都为正数， bd∴k＞1，b＞d，(a?d)?(b?c)?bk?d?b?dk?(b?d)(k?1)＞0， ∴a?d＞b?c.
思考练习
1、已知ab?1，m?11ab??， n?， 试讨论m、n的大小关系. 1?a1?b1?a1?b2、已知a,b,c都是实数，并且a＞b＞c，给出四个式子：“①ab＞bc；②a?b＞b?c；③a?b＞b?c；④
55ab＞.试判断哪个是正确的. cc44333、a?3，b?4，c?5，比较a,b,c的大小.
4、若a,b是正数且满足12345?(111?a)(111?b),比较a与b的大小关系. 5、已知a?2?1，b?22?6，c?6?2，比较a、b、c的大小.
1 的大小 2226、已知0＜a＜b＜1，且a?b?1，比较a，b，a?b，
30
答案提示 1、∵m?n?1?a1?b2?2ab???0， ∴m?n. 1?a1?b(1?a)(1?b)2、∵ (a?b)?(b?c)?a?c＞0， ∴a?b＞b?c.
113、a?(35)11?243，b?(44)11?25611，c?(53)11?12511，∴c＜a＜b
4、∵a?0,b?0，由12345?(111?a)(111?b),得a?b?5、∵3＞22, ∴a?b?24?ab＞0，a?b 1116?1?2?3?3?1?2＞3?22?1?2＝
(2?1)2?1?2＝0又c?a?6?1?2?a?b＞0, ∴ b＜a＜c.
6、∵a＜b，∴(a?b)2＞0，∴a?b＞2ab，不等式两边同加上a?b，得2(a2?b2)＞(a?b)2?1，∴a?b＞
222212；又∵0＜a＜b，∴a＜ab，而 21a?b?1，∴b?b(a?b)?ab?b2＞a2?b2， ∴a＜＜a2?b2＜b
222
16、绝对值
例题讲解
例1 已知a＜0，ab＜0， 化简:
1a?b?32?b?a?3?？
解：因为a＜0,ab＜0, 所以b＞0 从而a?b＜0, b?a＞0 进而有a?b?32＜0, b?a?3＞0， 故，
原式＝
1?(a?b?32)?(b?a?3)?132?3?32?3. 1511?a?1，求代数式?a值. aa11解：由?1?a＞0,知a,,a 全是正数, 所以
aa例2 已知
1?1??1???a????a??4?5 故 ?a?5.
a?a??a?
31
22思考练习
1、实数a,b,c在数轴上的位置如图， 求代数式a?a?b?c?a?b?c的值.
b
a
0
c
22、若实数x满足1?x?1?x，则(x?1)?_____.
3、满足a?b?ab?1的非负整数对(a,b)的个数有____对.
24、若1?a?a?1，化简：(a?1)?a2
答案提示
1、条件得b＜a＜0＜c∴a?b＞0，c?a＜0，b?c＜0，原式＝2c?a. 2、∵1?x?1?x?0，1?x＞0，1?x＞0，∴
?x?1?2?1?x.
3、∵a?b?1?ab?0，ab?1，而a、b都为非负整数，故a、b取值为0和1，经检验知，(0，1)(1，0) (1，1) 共3对满足条件. 4、1?2a
17、奇偶分析
基本原理
奇数±奇数＝偶数；偶数±偶数＝偶数；奇数±偶数＝奇数. 奇数×奇数＝奇数；偶数×偶数＝偶数；奇数×偶数＝偶数.
a,b为整数，若a?b为偶数，则a,b奇偶性相同； a,b为整数，若a?b为奇数，则a,b奇偶性相异.
例题讲解
22例1 若p,q为质数，且5p?7q?29，求p?q的值.
解：若p,q都为奇质数，则5p?7q是偶数，若p,q都为偶质数2，则5p?7q≠29，所以
p,q中必有一个为偶质数2，另一个为奇质数，若p?2，则q不是整数，故只有q?2，此时
p?3，p2?q2＝13.
例2 若a2?1996是整数，求整数a的最小值.
解：a2?1996?m（m是正整数），则a?1996?m，a?m?1996， ∴(a?m)(a?m)?1996，∵a?m与a?m有相同的奇偶性，而1996是偶数，
32
2222∴a?m与a?m同为偶数，又1996?2?2?499，499是质数，
?a?m?998∴? 解得 a?500，∴整数a的最小值是500.
a?m?2?例3 若正整数x,y满足方程x2?y2?199,7求x?y的值.
解:因为x2?y2?1997为奇数, 所以x,y为一奇一偶,不妨设x为奇数,y为偶数,又因为
x2?y2的个位数字是7, 所以x2的个位数字必为1,y2 的个位数字必为6. 从而x的个位数字是
1或9,y的个位数字是4或6.又x＜1997,故x＜45. 因此x的可能值是1, 9, 21, 29, 41.经检验, 仅当x?29时,有y?34，使29?34?1997, 所以x?y?29?34?63.
思考练习
1、如果质数p,q满足关系式3p?5q?31，则(p,q)?_______.
2、王、李两人卖了m只猪，每头卖价又恰是m元钱，两人分钱方法是，先由王拿10元，再由李拿10元，如此轮流，拿到最后剩下不足10元，轮到李拿，为平均分配，王应补回李多少元钱？
3、在1，2，3，?，95这95个数中，十位数字为奇数的数共有多少个？ 答案提示
1、3p和5q中恰有一个偶数，故p,q中恰有一个为2，∴（2，5），（7，2）.
2、令m?10a?b，则m?(10a?b)?10?2a(5a?b)?b，因王先拿10元，而李最后一次取钱不足10元，所以m中有奇数个10元，而10?2a(5a?b)中含有偶数个10元，故b2222222222222中必会有奇数个10元，因b＜10，所以b只可能是1、4、9、16、25、36、49、64、81，而这9个数中只有16和36会有奇数个10元，因此b＝16或36，这两个数的个位数都是6，这就是说，李最后所拿的钱是6元，由此可知，王比李多拿了4元钱，王应补回李2元钱.
3、在1，2，3，??，10中，十位数字是奇数的只有4?16,6?36，
而一个两位数(10a?b)?100a?20ab?b，(10a?b)与b的十位数字的奇偶性相同，b2222222222222，3，90这90个数中，只能取4、6两个数，∴在1，??，十位数字为奇数的数共有2?9?18个，在91，?95中，十位数字为奇数的数有1个，总共有19个.
33
22222218、整数的讨论
例题讲解
例1 当a取遍0到5的所有实数时，求满足3b?a(3a?8)的整数b的个数.
841616a?(a?)2?，又0?a?5， ∴b的最小值是?， 33992162?b?11， 又当a?0时,b?0，当a?5时,b?11， ∴?393解: ∵b?a?2故b取到的整数是-1, 0, 1, 2, ?, 11,共13个.
例2 若两个数的平方和为637，最大公约数与最小公倍数之和为49，求这两个数. 解：∵两个数的平方和为637，∴这两个数不可能是1，49，∵49?7?7
∴所求的两数的最大公约数是7，最小公倍数是42， 设两数为a，b，则a?7m，b?7n，（m＜n，m、n是自然数， （m,n）＝1）由ab?(a,b)?a,b?得，49mn?7?42，∴mn?6，
∵m＜n，（m,n）＝1，∴m＝2，n＝3，∴a?14 ，b?21， 经检验，14?21?637，∴所求的两数是14，21.
例3 某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙班9个男生和n个女生的捐款总数相等，都是mn?9m?11n?145元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元。求每人的捐款数.
解：设每人捐款数为x元, 则(m?11)x?(n?9)x?mn?9m?11n?145 解得 n?m?2,x?22mn?9m?11n?14546, 消去n, 得 x?m?11?
m?11m?11因为x为整数, 所以m?1146,由m?11?11
得m?11?23或46, m?12或35, 从而得x?25或47.
例4 某鸡场用鸡笼装小鸡, 若每个鸡笼装36只, 则余11只; 若减少两个鸡笼, 则所有小鸡正好平均装完, 已知一个鸡笼最多能装45只, 问原有鸡笼多少个?小鸡多少只?
解: 设原有鸡笼x个, 减少两个鸡笼后, 每个装n只鸡.则
36x?11?n(x?2) n?36x?1136(x?2)?8383??36?
x?2x?2x?2n整数, 故(x?2)83, 而83是质数, x?2?1或x?2?83, x?3或x?85,
当x?3时, n?119＞45, 当x?85时, n?37 ∴原有鸡笼85个, 小鸡85×37＝3071只.
34