思考练习
1、若a,b,c,d是互不相等的整数，且abcd?9，求a?b?c?d的值. 2、设实数a,b,c满足a?b?c?0,abc?1，试确定a,b,c中负数的个数. 3、设a,b,c都是整数，且abc?1990，求ab?bc?ac的最小值. 4、设三个互不相等的有理数，既可表示为1,a?b,a的形式，又可表示为0,试求a1999b,b 的形式，a?b2000的值.
5、已知
43?2＜x＜
45?3, 求满足不等式的整数x的个数.
6、若函数y?12(x?100x?196?x2?100x?196), 则当自变量x取1，2，3，?，1002这100个自然数时，求函数值的和
7、（04竞赛）甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食, 如果从甲库调90袋到乙库, 则乙库存粮是甲库的2倍; 如果从乙库调若干袋到甲库, 则甲库存粮是乙库的6倍. 问甲库原来最少存粮多少袋?
8、已知正整数a，b之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约的105倍，那么a，b中较大的数是______
答案提示
bdc1、∵a?9a,b,c,d是互不相等的整数，∴a,b,c,d只能等于1，-1，3，-3， a?b?c?d＝0. 2、a?b?c?0∴a,b,c中至少有一个负数，∵abc?1，a,b,c中有两个负数.
3、因a,b,c都是整数，abc?1990也是整数，故a,b,c三个数要么都是正整数，要么是两个负整数、一个正整数，要使ab?bc?ac的值最小，即ab?bc?ac中的负数最多，于是取
a?1990,b??1,c??1时，其值最小为－3979.
4、由已知得a?b，a中有一个为0，＝－1，∴a＝－1，b＝1，a1999bb，b中有一个为1，可见a?0，故a?b＝0，aa?b2000＝0.
5、因4(3?2)＜x＜2(5?3), 1.27?＜x＜7.3?，所以整数x= 2,3,4,5,6,7 共6个.
26、因为x?100x?196?(x?2)(x?98), 所以，当2?x?98时，y?0, 即当x取2，
3，?，98这97个自然数时，函数值都为0，而当x取1，99，100时，y?(x?2)(x?98), 则所求的为390
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7、解：设甲库原来存粮a袋，乙甲库原来存粮b袋，则2(a?90)?b?90，b?2a?270 又设乙库调c袋到甲库，则a?c?6(b?c)，11a?7c?1620，由
c?11a?16204(a?1)11a?1620?a?232?，又a,c是正整数，有≥1，即a≥148；
7777整除4(a?1)，又因4与7互质，所以7整除a?1，经检验，可知a的最小值为153
8、解：设(a,b)?d，且a?md，b?nd，其中m?n，且m，n互质，于是a，b的
?nd?120??(m?n)d?23?3?5?md最小公倍数为mnd，依题意，有?mnd 即?，由m?n，据
?105?mn?3?5?7??d?m?105?m?35?m?21?m?15?m?15mn?3?5?7得?或?或?或?；据第一个式只能取?可
n?1n?3n?5n?7n?7?????求得d?15，故两数中较大的数是md?225．
19、完全平方数
例题讲解
例1 设N?23x?92y为完全平方数, 且N不超过2392, 问满足上述条件的一切正整数对(x,y)共有多少对.
解：∵N?23x?92y?23(x?4y), 且23为质数, N为不超过2392的完全平方数,所以
x?4y?23m2(m为正整数), 且N?232?m2≤2392，m2≤
223921042?＜5 ∴m= 1或4, 22323当m=1时, 由x?4y?23,得(x,y)= (3,5)、 (7,4) 、(11,3)、 (15,2)、 (19,1) 当m= 4时, 由x?4y?92,得(x,y)= (4,22)、 (8,21)、?、(88, 1) 共22对, ∴满足条件的(x,y)共有27对
例2 一个正整数,若分别加上100与168,则可以得到两个完全平方数，求这个正整数. 解：设这个正整数为n,且n?168?a,n?100?b(a,b为正整数),则 a?b?68?2?17, (a?b)(a?b)?2?17 因为a?b与a?b有相同的奇偶性,且它们的积为偶数,所以有
2222222a?b?2,a?b?34消去b,得a=18.故n?a2?168?156.
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思考练习
1、一个正整数加上50得一个完全平分数，减去31又得一个完全平方数，求这个正整数. 2、一个四位数是完全平方数，它的千位数字与百位数字相同，十位数字与个位数字相同，求这个四位数.
3、试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数．
答案提示
1、如例题2得(a?b)(a?b)?81?1?27?3?9?9，∵a?b?a?b，∴??a?b?81；
?a?b?1?a?b?27?a?b?9?a?41?a?15?a?9,175，31. ；，解得；?；?，则n?1631????a?b?3?a?b?9?b?40?b?12?b?02、N?1000x?100x?10y?y?11?(100x?y)＝11(99x?x?y)，∵11是素数∴
11(x?y) 又1?x,y?9, 则2?x?y?18，∴x?y?11，N?11(99x?x?y)＝112?(9x?1)，9x?1是完全平分数，且1?x?9，经验算得x?7，从而y?4，这个四位数
是7744.
3、设前后两个二位数分别为x，y，10?x,y?99，则(x?y)2?100x?y，即
x2?2(y?50)x?(y2?y)?0，当??4(y?50)2?4(y2?y)?4(2500?99y)?0，
即2500?99y?0，y?25时，方程有实数根x?50?y?2500?99y，由于2500?99y必为完全平方数，而完全平方数的末位数字仅可能为0，1，4，5，6，9，故y仅可能取25，此时x?30或20，故所求的数为2025或3025．
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第二部分 空间与图形
20、线段与角
思考练习
1、已知线段AB＝16，C为AB上的一点，且AC∶CB＝3∶5，M、N分别为AC、AB的中点，求MN的长．
A
M
C N
B
2、在直线l上取A、B两点，使AB＝10cm，再在l上取一点C，使AC＝2cm， M、N分别为AB、AC的中点，求MN的长．
3、在一条直线形流水线上，依次在A1、A2、A3、A4、A5处有5个具有同样性能的机器人在工作，每隔一定时间，它们要去取零件，将零件箱放在何处，才能使机器人取零件花费的总时间最少？
P
100m 200m A区
B区
C区
A1 A2 A3 A4 A5
4、某公司员工分别住在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区在一直线上，位置如图所示，公司的班车打算在此间只设一个停靠点，为要使所有员工步行到停靠点的路线总和最少，那么停靠点的位置应在何处?
5、如图，已知?AOE和?COG都等于90?，
G F E
D C B O A ?BOC??FOG，则图中以O为顶点的锐角共有_____个．
6、时钟在12点25分时分针与时针之间的夹角度数为______． 7、若一个角的补角等于这个角的余角的6倍，则这个角等于__ ___． 8、小明家在车站O的东偏北18?方向300米处，学校B在车站O的南偏西10?方向200米，小明经车站所走的?AOB?______度
9、若?AOB与?BOC互为补角，OD是?AOB的平分线，OE在?BOC内，?BOE?D A O
A
O 1 3 4 2 N B
B E 1?EOC，?DOE?72?，求?EOC． 2C
10、平面上有五个点，其中仅有三点在同一直线上，过每两点作一条直线，一共可以作_____条直线．
11、如图，OM是?AOB的平分线，射线OC在?BOM内部，
M C
ON是?BOC的平分线，已知?AOC?80?，求?MON的度数．
12、平面上三条直线相互之间的交点个数是( )
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A、3 B、1或3 C、1或2或3 D、不一定是1、2、3
13、如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30?，求这两个角． 14、如图，已知AB∥CD，?A?110?，?C?120?，则?CEF?_______．
15、如图，已知AB与CD相交于点O，OE、OF、OG分别是?AOC、?BOD、?AOD的平分线，求证：(1) E、O、F三点共线；(2) OG?EF．
说出下列证明每一步推理的理由： 证明：(1) ∵?AOD??DOB?180?，
C 11又?GOD??AOD，?FOD??DOB，
221∴?GOF?(?AOD??DOB)?90?， 同理?EOG?90?，
2∴?EOF??EOG??GOF?180?， ∴E、O、F三点共线． (2) ∵?EOG?90?，∴OG?EF．
16、如图，平行直线a与b被两条相交直线所截，请数出图中 有多少对同旁内角．
a b A F
C
D D F
O G
B
E A B E
21、三角形的边角关系
例题讲练
例1 草原上4口油井，位于四边形ABCD的4个顶点，如图现要建立一个维修站H，试问H建在何处，才能使它到4口油井的距离之和HA?HB?HC?HD最小，说明理由．
解：维修站H建在两条对角线的交点处就符合要求． 理由如下：不妨任取异于H的一点E，连EA、EB、EC、 ED， 则EA?EC?AC，EB?ED?BD，
D H C
EA?EB?EC?ED?AC?BD?HA?HB?HC?HD． A
E B
例2 若三角形的三边长均整数，周长为15，问这样的三角形共有多少个? 解：设三角形的三边长分别为a、b、c，且a?b?c．则a?15 2当a?7时，b?7,c?1；b?6,c?2；b?5,c?3；b?4,c?4． 当a?6时，b?6,c?3；b?5,c?4； 当a?5时，b?5,c?5．
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