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2010考研强化班高等数学讲义
主讲：汪诚义
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考研强化班高等数学讲义(六至八章)
第六章 多元函数微分学
§6.1 多元函数的概念、极限与连续性
(甲)内容要点
一、多元函数的概念
1．二元函数的定义及其几何意义 设D是平面上的一个点集，如果对每个点P(x,y)∈D，按照某一对应规则f，变量z都有一个值与之对应，则称z是变量x，y的二元函数，记以z=f（x，y），D称为定义域。
二元函数z=f（x，y）的图形为空间一块曲面，它在xy平面上的投影域就是定义域D。
例如 z?1?x?y,22D:x?y22?1 二元函
数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D就是xy平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。 2．三元函数与n元函数
u?f(x,y,z),(x,y,z)??空间一个点集，称为三元函数
u?f(x1,x2,?,xn)称为n元函数。
它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。
二、二元函数的极限
设f(x,y)在点(x0,y0)的邻域内有定义，如果对任意??0，存在??0,只要
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(x?x0)?(y?y0)x?x022??,就有f(x,y)?A??
(x,y)?(x0y0)则记以limf(x,y)?A或y?y0limf(x,y)?A
称当(x,y)趋于(x0,y0)时，f(x,y)的极限存在，极限值为A。否则，称为极限不存在。 值得注意：这里(x,y)趋于(x0,y0)是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于
(x0,y0)，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂，但考试大纲只要求知道基本概念和
简单的讨论极限存在性和计算极限值不象一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。
三、二元函数的连续性
1．二元函数连续的概念
若limf(x,y)?f(x0,y0)则称f(x,y)在点(x0,y0)处连续
x?x0y?y0若f(x,y)在区域D内每一点皆连续，则称f(x,y)在D内连续。 2．闭区域上连续函数的性质
定理1 （有界性定理）设f(x,y)在闭区域D上连续，则f(x,y)在D上一定有界 定理2 （最大值最小值定理）设f(x,y)在闭区域D上连续，则f(x,y)在D上一定有最大值和最小值maxf(x,y)?M(最大值),(x,y)?D(x,y)?Dminf(x,y)?m(最小值)
定理3 （介值定理）设f(x,y)在闭区域D上连续，M为最大值，m为最小值，若
f(x0,y0)?C
m?c?M,则存在(x0,y0)?D,使得
（乙）典型例题 一、求二元函数的定义域
例1 求函数z?arcsinx3x3?xy的定义域
解：要求 ?1即?3?x?3;
又要求xy?0即x?0,y?0或x?0,y?0综合上
述要求得定义域
??3?x?0?0?x?3 或 ???y?0?y?0
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例2 求函数z?4?x?y22?ln(y?2x?1)的定义域
2解：要求 4?x2?y2?0和y2?2x?1?0
?x2?y2?22 即 ?2 y?1?2x?
函数定义域D在圆x2?y2?22的内部（包括边
界）和抛物线y2?1?2x的左侧（不包括抛物线上的点）
二、有关二元复合函数
例1 设f(x?y,x?y)?xy?y,求f(x,y) 解： 设x?y?u,x?y?v解出x?
12(u?v),y?1(u?v)
2221122 代入所给函数化简f(u,v)?(u?v)(u?v)?(u?v)
841122 故 f(x,y)?(x?y)(x?y)?(x?y)
8422例2 设f(x?y,xy)?x?3xy?y?5,求f(x,y) 解： ?x?3xy?y?5?(x?2xy?y)?xy?5
?(x?y)?xy?5
?f(x,y)?x?y?5
222222 例3 设z?y?f(x?1),当y?1时，z?x,求函数f和z
解： 由条件可知 x?1?f(x?1),令
2x?1?u,则f(u)?x?1?(u?1)?1?u?2u
22 ?f(x)?x?2x,z?y?x?1
三、有关二元函数的极限 例1 讨论lim(1?x??1xyx2)x?y(a?0常数)
y?a
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x2?1xy?xy(x?y)解：原式=limx???(1?)? y?a?xy?xy
而lim?x???11??1ty?a???xy?令t?xylim?t??(1?t)?e 2 又limx1x??y?axy(x?y)?limx??
y?ay(1?y?1ax)1 ?原式?ea
2例2 讨论limxyx?0x4?y2
y?03 解：沿y?lx原式?limlxx?0x4?l2x2?0
沿y?lx2,原式?limlx4lx?0x4?l2x4?1?l2
?原式的极限不存在
322例3 讨论limxyx?04y2
y?0x?解： ?x4?y2?2x2y(?(x2?y)2?0)
33221 ?0?x2y2x4?y2?xy2x2y?12y2
而lim112x?02y?0;limx?00?0
y?0y?0
用夹逼定理可知 原式=0
§6.2 偏导数与全微分
（甲）内容要点
一、偏导数与全微分的概念 1．偏导数
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二元：设z?f(x,y)
?zf(x??x,y)?f(x,y)?x?fx?(x,y)?lim?x?0?x
?z?y?fy?(x,y)?limf(x,y??y)?f(x,y)?y?0?y
三元：设u?f(x,y,z)
?u?f?(x,y,z);?u?f);?u?xx?yy?(x,y,z?z?fz?(x,y,z)
2．二元函数的二阶偏导数
设 z?f(x,y),
?2z?x2?f??(x,y)???z2xx?x(?x)，
?z?x?y?f??(x,y)??xy?y(?z?x)
?2z?f??2z??z?y?xyx??(x,y)??x(?z?y)，
?y2?fyy??(x,y)??y(?y)
3．全微分
设 z?f(x,y), 增量?z?f(x??x,y??y)?f(x,y)
若 ?z?A?x?B?y?o((?x)2?(?y)2) 当 ?x?0?y?0时
则称 z?f(x,y)可微，而全微分dz?A?x?B?y
定义：dx??x,dy??y
定理：可微情况下，A?fx?(x,y),B?fy?(x,y)
?dz?fx?(x,y)dx?fy?(x,y)dy
三元函数 u?f(x,y,z)
全微分 du?fx?(x,y,z)dx?fy?(x,y,z)dy?fz?(x,y,z)dz
4．相互关系
fx?(x,y)f存在 fx?(x,y),fy?(x,y)存在y?(x,y)连续?df(x,y)f(x,y)连续
5．方向导数与梯度（数学一）