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二、复合函数微分法——锁链公式
模型I. 设z?f(u,v),u?u(x,y),v?v(x,y)
?z?x?z?u?u?x
u
则
???z?v?z?z?u?z?v? ； ???v?x?y?u?y?v?yxyzv 模型II. 设u?f(x,y,z),z?z(x,y)
则
?u?x?fx??fz??z?x ，
?u?y?fy??fz??z?y
xuyzxy
模型III. 设u?f(x,y,z),y?y(x),z?z(x)
xuyzx
则
dudx?fx??fy?dydx?fz?dzdx
思考题：设z?f(u,v,w),w?w(u,v),u?u(t),v?v(t),t?t(x,y)
求
?z?x的锁链公式，并画出变量之间关系图.
三、隐函数微分法
设 F(x,y,z)?0确定z?z(x,y)
?z?xFx?Fz??z?yFy?Fz? 则 ??;??(要求偏导数连续且Fz??0)
四、几何应用（数学一） 1．空间曲面上一点处的切平面和法线 2．空间曲线上一点处的切线和法平面
（乙）典型例题
例1 求 u?()的偏导数
yxz 解
?u?x?z()yyxz?1，
?u?z()?yyxz?1(?xy2)??z?xyzz?1
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?u?z?(xxz)ln yy例2 设u?f(x,y,z)有连续的一阶偏导数，又函数y?y(x)及z?z(x)分别由下列两式确定
x?zxyx e?xy?2和e??0sinttdt求dudx
解
dudx?fx??fy?xydydx?fz?dzdx
xy 由e
?xy?2两边对x求导,得e[y?xdydxxdydx(e]?(y?xxydydx)?0
解出 ??x?zyx(分子和分母消除公因子?1))
dzdx 由 e??0sinttdt两边对x求导,得ex?sin(x?z)(x?z)(1?)
解出
dzdxdu?1?e(x?z)sin(x?z)y?fx
e(x?z)?f???[1?]所以 dx?xx?ysin(x?z)?z?fx例3 设y?y(x),z?z(x)是由z?xf(x?y)和F(x,y,z)?0所确定的函数，其中f具有一
阶连续导数，F具有一阶连续偏导数 求
解 分别在两方程两边对x求导得
dy?dz?f?x[1?]f???dxdx??F??F?dy?F?dz?0xyz?dxdx?dzdx??x?(f?xf?)Fy??xfF?z?Fy??xfFdzdx
dydz???xf??f?xf???dxdx 化简??F??dy?F?dz??F?yzx?dxdx? 解出
例4 设 u?f(x,y,z)有连续偏导数
xe?yexy，z?z(x,y)由方程
求du
?ze所确定xyz 解一：令F(x,y,z)?xe?ye?ze
Fz???(z?1)ezzxy得Fx??(x?1)e,Fy???(y?1)e,
则用隐函数求导公式得
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?z?x??Fx?Fz??x?1z?1ex?z;?z?y??y?1z?1ey?z
?u?x?fx??fz??z?x?fx??fz??x?1z?1ex?z
?u?y?u?x?fy??fz??z?y?fy??fz??y?1z?1ey?z
?du?dx??u?ydy?(fx??fz?x?1z?1ex?z)dx?(fy??fz?y?1z?1ey?z)dy
解二： 在xex?yey?zez
x两边求微分yz得
(1?x)edx?(1?y)edy?(1?z)edz
解出 dz?(1?x)edx?(1?y)edy(1?z)ezxy
代入 du?fx?dx?fy?dy?fz?dz
?(1?x)exdx?(1?y)eydy??fx?dx?fy?dy?fz??? z(1?z)e??
合并化简也得 du?(fx??fz?x?1z?1ex?z)dx?(fy??fz?y?1z?1ey?z)dy
例5 设 f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足
?f?u22??f?v22?1,
12?g?g?2?? g(x,y)?f?xy,(x?y)?,求 222?x?y??22 解：u?xy,?g?x2v?12(x?y)
22 u x f v y ((?f?u?f?v) ?y?f?u?x?f?v,?g?y?x?f?u?y?f?v
)
?g?x2?y???f??f???x??x??x??u??v22??f??f??v???v ??2
???f??f?u?f?v???f??f?u?f?v????而； 2???v??v?u?x??v2??x代入上式 ?x??u?u?x?u?v?x?x????2
故：
?g?x22?y2?f?u22?2xy?f?u?v2?x2?f?v22??f?v,
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?g?y22?x2?f?u22?2xy?f?u?v2?y2?f?v22??f?v
所以：
?g?x22??g?y22?(x?y)22?f?u22?(x?y)22?f?v22?x?y
22例6 已知 F(,zxyz)?0确定z?z(x,y)其中F(u,v),z(x,y)
均有连续编导数，求证xxzyz?z?x?y?z?y?z
证：F(u,v)?F(,??Fu??Gx1z,)?G(x,y,z)?0 G??Fv??y1z,??Fu?(?Gzxz2)?Fv?(?yz2)
根据隐函数求导公式
?z?x???Gx?Gz?zFu?xFu??yFv?
?z?y??G?y?Gz?zFv?xFu??yFv?
则得 x?z?x?y?z?y?z
?x??u2?v?z,例7 设 ?y?u?vz?求?u?v?u,, ?x?x?z
?x??u2?v?z, 解：对 ??y?u?vz的两边求全微分，得
?dx??2udu?dv?dz?2udu?dv??dx?dz ???dy?du?zdv?vdzdu?zdv?dy?vdz???du?dv??u?x?zdx?(z?v)dz?dy2uz?12uz?1z2uz?1,?v?x?1,2udy?dx?(1?2uv)dz
,?u?zz?v2uz?1???2uz?1,?
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§6.3 多元函数的极值和最值
（甲）内容要点
一、求z?f(x,y)的极值
?fx?(x,y)?0求出驻点(xk,yk)第一步 ??f(x,y)?0?y(k?1,2,?,l)
??(xk,yk)fyy??(xk,yk)??fxy??(xk,yk)? 第二步 令?k?fxx2若若若?k?0?k?0?k?0则f(xk,yk)不是极值则不能确定（有时需从极值定义出发讨论） 则f(xk,yk)是极值
进一步
若若??(xk,yk)?0则fxx??(xk,yk)?0则fxxf(xk,yk)为极小值f(xk,yk)为极大值
二、求多元（n?2）函数条件极值的拉格朗日乘子法
求 u?f(x1,?,xn)的极值
??1(x1,?,xn)?0??约束条件 ???(x,?,x)?0n?m1 (m?n)
m令F?F(x1,?,xn,?1,?,?m)?f(x1,?,xn)??Fx?1?????Fx?n?F???1??????F?m?0???ii?1i(x1,?xn)
?0??1(x1,?,xn)?0??m(x1,?,xn)?0