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?22Rcos?V?4??4R?rrdrd??4?d?022?04R?r22
?D?
?23)32R332?(1?sin?)d??03323R(3?2
2、求曲面的面积（数学一）
§7.2 三重积分（数学一）
(甲) 内容要点
一、三重积分的计算方法 1、直角坐标系中三重积分化为累次积分 （1）设?是空间的有界闭区域
???(x,y,z)z1(x,y)?z?z2(x,y),(x,y)?D?
其中D是xy平面上的有界闭区域，z1(x,y),z2(x,y)在D上连续函数f(x,y,z)在?上
连续，则
z2(x,y)
????f(x,y,z)dv???dxdy?Dz1(x,y)f(x,y,z)dz
（2）设???(x,y,z)??z??,(x,y)?D(z)? 其中D(z)为竖坐标为z的平面上的有界闭区域，则
?
????f(x,y,z)dv??dz???D(z)f(x,y,z)dxdy
2、柱坐标系中三重积分的计算
????f(x,y,z)dxdydz????f(rcos?,rsin?,z)rdrd?dz
?相当于把(x,y)化为极坐标（r,?）而z保持不变 3、球坐标系中三重积分的计算
?x??sin?cos???y??sin?sin??z??cos??
??0??0???????0???2??? ???
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????f(x,y,z)dxdydz?????f(?sin?cos?,?sin?sin?,?cos?)?sin?d?d?d?
2
（乙） 典型例题
一、有关三重积分的计算
例1 计算???xyzdxdydz，其中?由曲面z?xy,y?x,x?1,z?0所围的区域
?231xxy 解
???xyzdxdydz??23?dx?dy010x?05xyzdz
23??dx?00141xydy?6?2801xdx?12136422
例2 计算???(?xa22?yb22?zc22)dxdydz,其中?由曲面
xa?yb22?zc22?1所围的区域
解 令 x?a?sin?cos?,y?b?sin?sin?,z?c?cos? 则
xa22
???(??yb22?2zc222??14)dxdydz?abc22?0d??sin?d???d??0045?abc
2例3 计算
????x?y?zdxdydz,其中?由曲面x?y?z?z所围的区域
22解 用球坐标
?2?2cos?2223????x?y?zdxdydz???d?0?d?0?0?sin?d??2
1
?5cos???2???cos?sin?d?????402?5?42???1002
例4 计算???(x?y)dxdydz,其中?由曲面x?y?2z,z?2所围的区域?222
2?2322 解
???(x?y)dxdydz??22?d??rdr00?dz?2??(2?r2r202)rdr
326?r4r??2????212??2?016?3
二、在物理上的应用
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例1 求 椭圆锥面
xa22?yb22?zc22和平面z?c围成物体的重心(设密度均匀恒为1)
解 设重心坐标（x,y,z）物体所占空间区域为?
由对称性可知x?0,y?0
???zdxdydz
z?????dxdydz?
由锥体体积公式可知???dxdydz???abc3
令 x?arcos?,y?brsin?,z?ct
2?112 而
???zdxdydz??abc?d??rdr?tdt
010r2 ?2?abc?0r(1?r)22dr??abc42
因此，重心坐标x?0,y?0,z?
3c4
例2 设有一半径为R的球体，球体上任一点的密度与该点到PoPo是球表面上的一个定点，的距离平方成正比（比例系数k>0）,求球体重心的位置
解一：设球面方程为x?y?z?R,Po为 (R, 0,0)，球体?的重心坐标为（x,y,z） 由对称性可知y?0,z?0
2222???x???x?k[(x?R)?y?z]dv2222???k[(x?R)?y?z]dv22
由区域的对称性和函数的奇偶性，则有
?2R???xdv?0
?????x[x?R?y?z]dv?0
22222 于是
???[(x?R)??y?z]dv?22????x?2?y?z22?dv?R???dv
2?
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2??R ??d??d?00??sin?d??R?0222424?R33?23215?R
5????x[(x?R)?y?z]dv??2R???xdv
???2R3????(x?y?z)dv??222815?R
6
因此 x??R4,重心坐标为(?R4,0,0)
解二： 设球面坐标x2?y2?(z?R)2?R2，
Po (0,0,0)，重心坐标（x,y,z）
由对称性可知 x?0,y?0
???
z???z?k[x?y?z]dv2222???k[x?y?z]dv22
?2?22Rcos?????z[x?y?z]dv?4?d?0222?d??00?cos?sin?d?
65??6432?R6?cos?sin?d??0783?R?2?22Rcos?????(x?y?z)dv?4?d??d?00222?0?sin?d??43215?R
5
于是 z?54R，重心坐标(0,0,54R)
§7.3 曲线积分（数学一）
(甲) 内容要点
一、第一类 曲线积分（对弧长的曲线积分） 参数计算公式 我们只讨论空间情形（平面情形类似）
设空间曲线L的参数方程 x?x(t),y?y(t),z?z(t),(??t??)
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? 则
?Lf(x,y,z)ds??f?x(t),y(t),z(t)???x?(t)?2??y?(t)?2??z?(t)?2dt
（假设f(x,y,z)和x?(t),y??t?,z?(t)皆连续）这样把曲线积分化为定积分来进行计算 二、第二类 曲线积分（对坐标的曲线积分） 参数计算公式
我们只讨论空间情形（平面情形类似）
设空间有向曲线L 的参数方程x?x(t),y?y(t),z?z(t),起点A对应参数为
?,终点B对应参数为?(注意:现在?和?的大小不一定???)如果P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)皆连续,又x?(t),y?(t),z?(t)也都连续,则
?L??ABP(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz????P?x(t),y(t),z(t)?x?(t)?Q?x(t),y(t),z(t)?y?(t)?R?x(t),y(t),z(t)?z?(t)?dt?这样把曲线积分化为定积分来计算。值得注意：如果曲线积分的定向相反，则第二类曲线积分的值差一个负号，而第一类曲线积分的值与定向无关，故曲线不考虑定向。 三、两类曲线积分之间的关系
空间情形：设L=?AB为空间一条逐段光滑有定向的曲线，P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 在L上连续，则
??ABP(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz?AB???P(x,y,z)cos??Q(x,y,z)cos??R(x,y,z)cos??ds
其中cos?,cos?,cos?为曲线弧上AB上点(x,y,z)处沿定向A到B方向的切线的方向余弦.四、格林公式
关于平面区域上的二重积分和它的边界曲线上的曲线积分之间的关系有一个十分重要的定理，它的结论就是格林公式。 定理1、（单连通区域情形）
设xy平面上有界闭区域D由一条逐段光滑闭曲线L所围的单连通区域，当沿L正定向移动时区域D在L的左边，函数P(x,y),Q(x,y)在D上有连续的一阶偏导数，则有
?Q?x?P?y??(D?)dxdy???LPdx?Qdy
五、平面上曲线积分与路径无关的几个等价条件
设P(x,y)，Q(x,y)在单连通区域D内有一阶连续偏导数，则下面几个条件彼此等价 1．任意曲线L=AB 在D内
?LP(x,,y)dx?Q(x,y)dx与路径无关
2．D内任意逐段光滑闭曲线C，都有?p(x,y)dx?Q(x,y)dy?0
C