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由limx?0e?2x?cexx?1则lim?(ex?02x?ce)?0
x 得c?1?0,c??1
ex 则f(x)?x(e?1)
x
三、用斯托克斯公式
?????2222例1 设F?2yi?3xj?zk,曲面S为x?y?z?9的上半部，求I????????rotF?n0ds
S解：根据斯托克斯公式I???L?????2F?dr???2ydx?3xdy?zdz其中L为S的边界曲线
L?x2?y2?9 （逆时针方向） ??z?0
取L的参数方程x?3cos?,y?3sin?,z?0,?由0到2? 则I?2?2?0(?9sin?)d??3?22?0(?9cos?)d???18??27??9?
2例2 计算I??L(y?z)dx?(2z?x)dy?(3x?y)dz,其中L是平面x?y?z?2
222222与柱面|x|?|y|?1的交线，从z轴正向看去，L为逆时针方向。
解：记S为平面x?y?z?2上L所围成部分的上侧，D为S在xy坐标平面上的投影，由
斯托克斯公式得
I???(?2y?4z)dydzS?(?2z?6x)dzdx?(?2x?2y)dxdy??23??(4x?2y?3z)dsS
??2??(x?y?6)dxdyD
??12??dxdy??24D(ds?1?(z?)?(z?y)dxdy?x223dxdy)
四、曲面积分的应用
例 设有一高度为h(t) (t为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程
z?h(t)?2(x?y)h(t)22（设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率
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与侧面积成正比（比例系数0.9），问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少时间？ 解：记V为雪堆体积，S为雪堆的侧面积，则
V???h(t)0dzx?y?2212?h??2dxdy(t)?h(t)z?
??S?h(t)1230??h(t)?h(t)z?dz2?4h(t),??x?y?22221?(z?)?(z?)dxdyxyh(t)22?2??x?y?21?h(t)2216(x?y)h(t)1222dxdy
?h(t)?16r?rdr??222??h(t)122?h(t)20?13?h(t)dVdtdh(t)dt131013102由题意知 ??0.9S,所以1310??,因此h(t)??t?C.
由 h(0)?130,得h(t)??t?130.令h(t)?0,得t?100(小时).
因此高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时。
五、梯度、散度和旋度
?????例1 设r?xi?yj?zk,r?|r|,求f(r)使div[gradf(r)]?0
?x?y?z??解：gradf(r)?f?(r)?i?j?k?,
rr??r
div[gradf(r)]?f??(r)?f?(r)2r?0, C2r,其中C1,C2为任意常数
求出微分方程的通解
f(r)?C1?例2 设u?lnx?y?z222，计算
（3）rot(gradu)
（1）gradu 解：（1）u?1 （2）div(gradu)
??u?u?u?1222?ln(x?y?z),则gradu??,,?(x,y,z); 222??2??x?y?z?x?y?z
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?u2（2）
?x22?1x?y?z1x?y?z?222222?2x22222(x?y?z)2z2222,?u?y22?1x?y?z222?2y22222(x?y?z)
?u?z2??(x?y?z)??u?2div(gradu)? 于是
?()?()?()???222?x?x?y?y?z?z?x?y?z3x?y?z?i222?u?u?u2?u2?u2??j2(x?y?z)(x?y?z)?k2222222
?1x?y?z222.?(3)rot(gradu)??x??y??z
?u?x2??2u?u?????z?y?y?z
?u?y?u?z????k?0?222????2u?u????u?u???i???j?????x?z?z?x???y?x?x?y
第八章 无穷级数（数学一和数学三）
引言：所谓无穷级数就是无穷多项相加，它与有限项相加有本质不同，历史上曾经对一
个无穷级数问题引起争论。例如：
1?1?1?1???(?1)n?1??
历史上曾有三种不同看法，得出三种不同的“和” 第一种 (1?1)?(1?1)???(1?1)???0 第二种 1?(1?1)?(1?1)??(1?1)???1 第三种 设1?1?1?1???(?1)
n?1???S
则1??1?1?1?1????S
2S?1,
1?S?S, S?12
这种争论说明对无穷多项相加，缺乏一种正确的认识。 1) 什么是无穷多项相加？如何考虑？ 2) 无穷多项相加，是否一定有“和”？
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3) 无穷多项相加，什么情形有结合律，什么情形有交换律等性质。因此对无穷级数的基本
概念和性质需要作详细的讨论。
§ 8.1 常数项级数
（甲） 内容要点 一、基本概念与性质 1. 基本概念
?无穷多个数u1,u2,u3,?,un,?依次相加所得到的表达式?un?u1?u2?u3???un??n?1称为数项级数（简称级数）。
nSn??uk?1k?u1?u2?u3???un （n?1,2,3,?）称为级数的前n项的部分和，
?Sn?(n?1,2,3,?)称为部分和数列。
??n若limSn(存在)?S，则称级数n???un?1是收敛的，且其和为S，记以?un?1n?S
?若limSn不存在，则称级数?un是发散的，发散级数没有和的概念。（注：在某些特殊含
n??n?1义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。）
2． 基本性质 （1） 如果
??n????un?1和?vn皆收敛，a,b为常数，则?(aun?bvn)收敛，且等于a?un?b?vn
n?1n?1n?1n?1（2） 在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。
（3） 收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和
不变。发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。
?（4） 级数?un收敛的必要条件是n?1?n??limun?0
（注：引言中提到的级数?(?1)n?1n?1,具有limn????1?n?1不存在，因此收敛级数的必要条件
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?不满足，?n?1??1?n?1?发散。调和级数?n?11n满足lim1n?n???0,但?n?11n却是发散的，
?所以满足收敛级数的必要条件limun?0，而?un收敛性尚不能确定。）
n??n?1
3．两类重要的级数
（1）等比级数（几何级数）
??arn?0n
?a?0?
?n当r?1时，?ar?n?0a1?r收敛
?n当r?1时，?ar发散
n?0（2）p一级数
??nn?11p
?当p>1时，?n?11np?收敛， 当p?1时?n?11np发散
?（注：p>1时，?n?11np?的和一般不作要求，但后面用特殊的方法可知?n?11n2??26）
二、正项级数敛散性的判别法
这时Sn?1?Sn?n?1,2,3,??所以?Sn?是单调若un?0?n?1,2,3,??则?un称为正项级数，
n?1?增
?加数列，它是否收敛就只取决于Sn是否有上界，因此?un收敛?Sn有上界，这是正项
n?1级数
比较判别法的基础，从而也是正项级数其它判别法的基础。
1. 比较判别法
??n?设c?0,当n?N时，cvn?un?0皆成立，如果?vn?1收敛，则?un收敛；如果?un发
n?1n?1