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求出 (x1,?,xn)(k?1,2,?,l)是有可能的条件极值点，一般再由实际问题的含义确
kk定其充分性，这种方法关键是解方程组的有关技巧。 三、多元函数的最值问题（略）
（乙）典型例题 一、普通极值 例1 求函数z?x4?y4?x2?2xy?y2的极值
解
?z?x3?4x?2x?2y,?z?y?4y?2x?2y
3
要求
?z?x??z?y?0,得x?y?2x?2y
33故知 x?y,由此解得三个驻点
?x?0 ??y?0,?z?x222?x?1??y?1,2?x??1 ?y??1??z?x?y??2,?z?y22
又 ?12x?2,?12y?2
2在点（1，1）处
A??z?x2(1,1)2?10,2B??z?x?y(1,1)2??2,C??z?y2(1,1)2?10??AC?B?96?0又A?10?0,(1,1)
?(1,1)是极小值点 极小值ZA???2 在点（-1，-1）处
?z?x2(?1,?1)22?10,B??z?x?y(?1,?1)2??2,C??z?y2(?1,?1)2?10??AC?B?96?0A?10?0,?(?1,?1)也是极小值点
极小值ZA?(?1,?1)??2 在点（0，0）处
?z?x2(0,0)2??2,2B??z?x?y(0,0)2??2,C??z?y2(0,0)2??2
??AC?B?0不能判定
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这时 取x??,y???（其中?为充分小的正数）则而 取x?y??时z?2??4?42z?2?4?0
?0不是极值点 由此可见（0,0）例2 设z?z(x,y)是由x2?6xy?10y2?2yz?z2?18?0确定的函数，求z?z(x,y)的
极值点和极值。 解 因为 x2?6xy?10y2?2yz?z2?18?0
每一项对x求导，z看作x，y的函数，得
2x?6y?2y?z?x?2z?z?x?0,
（1）
每一项对y求导，z看作x，y的函数，得
?6x?20y?2z?2y?zz?y?2z??y?0.
（2）
??z
令 ????x?0,得?x?3y?0,???zy?z?0, 故 ?x?3y,??0,??3x?10? ?z?y.??y 将上式代入x2?6xy?10y2?2yz?z2?18?0，可得
?x?9,?x??9,??y?3,或??y??3, ??z?3.??z??3. 把（1）的每一项再对x求导，z和
?z?x看作x,y的函数，得
22?2y?2z2?x2?2(?z?x)?2z?z?x2?0, 把（1）的每一项再对y求导，z和
?z?x看作x,y的函数，得
?2?z?2y?2z?2?z?z?2?6z?x?x?y?y??x?2z?x?y?0, 把（2）的每一项再对y求导，z和
?z看作x,y的函数，得
?y
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20?2?z?y2?2?z?y?2y?z?y22?2(?z?y2)?2z2?z?y22?0,
所以 A??z?x2(9,3,3)?16,B??z?x?y(9,3,3)??12,C??z?y2(9,3,3)2?53,
故 AC?B?2136?0,又A?16?0,从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值
为z(9,3)?3.
类似地，由
A??z?x22??(?9,?3,?3)216,B??z?x?y162??(?9,?3,?3)12,C??z?y22??(?9,?3,?3)53,
可知 AC?B?136?0,又A???0,所以点(?9,?3)是z(x,y)的极大值点，极
大值为z(?9,?3)??3.
二、条件极值问题 例1 在椭球面
x522?y322?z222使与三个坐标平面所围四面?1第一卦限上P点处作切平面，
体的体积最小，求P点坐标。
解：设P点坐标(x,y,z)，则椭球面在P点的切平面的法向量为(切平面：
225x(X?x)?29y(Y?y)?12222x52,2y32,2z22)
z(Z?z)?0
225225xX?2929yY?1212zZ?2(x5?y322?z222)?0
xX?yY?zZ?2?0
X?25xx轴截距(Y?0,Z?0)
y轴截距(Z?0,X?0)Y?9y4z
z轴截距(X?0,Y?0)Z?所以四面体的体积
V?12594150 ????6xyzxyz
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约束条件
x522?y322?z222?1?0(x?0,y?0,z?0)用拉格朗日乘子法，令
F?F(x,y,z,?)?150xyz??(x522?y322?z222?1)
Fx???150xyz150xyz150xyz22222?2?252?92?4z2x?0(1)
Fy????y?0(2)
Fz????z?0(3)
F???x5?y32222??1?0(4)
用x乘（1）+y乘（2）+z乘（3） 得?450xyz?2??0
则 2??450xyz(5)
将（5）分别代入（1），（2），（3）得
x?53,y?3333,z?23
所以 P点坐标为（
53,,23）而最小体积V?153
?x2?y2?z2?1例2 求坐标原点到曲线C：?的最短距离。
2x?y?z?1?
解：设曲线C上点（x, y, z）到坐标原点的距离为d，令W222?d2?x?y?z,222约束条件x?y?z?1?0,2x?y?z?1?0用拉格朗日乘子法，令
F?F(x,y,z,?,?)?(x?y?z)??(x?y?z?1)??(2x?y?z?1)
222222
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Fx??2x?2?x?2??0Fy??2y?2?y???0Fz??2z?2?z???0F???x?y?z?1?0F???2x?y?z?1?0222(1)(2)(3) (4)(5)
2首先，由（1），（2）可见，如果取???1,则??0，由(3)可知z?0,再由(4),(5)得
2x?y?1?0,2x?y?1?0
4?x??5 ?3?y?5?4355,0)其次，如果取??1，由(3)得??0,再由
2
?x?0解得??y??1
这样得到两个驻点P1(0,?1,0),P2(,（1）（2）得x?0,y?0这样（4）成为?z?1,是矛盾的，所以这种情形设有驻点。
最后，讨论??1,???1情形，由（1）（2），（3）可得
?1?? x??,y??2(1??),z??2(1??)代入(4),(5)消去?得3??9??8?0此方
2程无解，所以这种情形也没有驻点。 综合上面讨论可知只有两个驻点，它们到坐标原点的距离都是1，由实际问题一定有最短距离，可知最短距离为1。 另外， 由于C为双曲线，所以坐标原点到C的最大距离不存在。
例3 已知函数z?f(x,y)的全微分dz?2xdx?2ydy,并且f(1,1)?2.求f(x,y)在椭圆域
2??y2D??(x,y)x??1?上的最大值和最小值4??。
解法1 由dz?2xdx?2ydy可知
z?f(x,y)?x?y?C,
22再由f(1,1)?2,得C?2,故
z?f(x,y)?x?y?2
?f?x?f?y22 令?2x?0,??2y?0,解得驻点(0,0).