新东方在线 [www.koolearn.com ] 2010考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学
3．p?x,y?dx?Q?x,y?dy?du?x,y?成立 4．D内处处有
?Q?x?P?y?
（乙
一、用参数公式直接计算 例 计算曲线积分 I????z?y?dx??x?z?dy??x?y?dzL，其中L是曲线
?x2?y2?1，从Z轴正向往负向看L的方向是顺时针方向。 ??x?y?z?222解：曲线L是圆柱面x?y?1和平面x?y?z?2的交线，是一个椭圆周，它的参数方
z?2?x?y?2?cos??sin?，程（不是唯一的选法）最简单可取 x?cos?，y?sin?，
根据题意规定L的定向，则?从2?变到0，于是 I?????2?cos????sin?????2?2cos?20?sin??cos???cos??sin???sin??cos???d? ?????2?sin?20?cos???2cos2??1?d?
??2?
二、用格林公式等性质来计算曲线积分 例1、求I??L?exsiny?b?x?y??dx??excosy?ax?dy，其中a，b为正的常数，L为????2ax?x2从点?2a,0?沿曲线y?到点（0，0）的弧
解一：用格林公式，但L不是封闭曲线，故补上一段L1，它为从（0，0）沿y＝0 到?2a,0?的有向直线。这样L?L1构成封闭曲线，为逆时针方向 于是 I??L?L1Pdx?Qdy－?Pdx?Qdy＝I1?I2，令esiny?b?x?y??P
xL1???excosy?ax?Q，根据格林公式
??Q?P??Pdx?Qdy＝??????dxdy ?x?y?D??I1??L?L1 ????b?a?dxdy?D?2a2?b?a?
这里D为由L和L1围成的上半圆区域。
新东方在线 [www.koolearn.com ] 2010考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学
另外，在L1上，y＝0，dy?0，故
I2??L1Pdx?Qdy??0??bx?dx2a??2ab
2于是 I?I1?I2?????3?2?2?ab?a
2?2?解二：我们把所给曲线积分拆成两项 I??Lesinydx?ecosydy???xxx?b?x?y?dx?axdyL?I3?I4
在I3中，由于
x?excosy????y?exsiny，故积分与路径无关
?又看出 d?esiny???esiny?dx??ecosy?dy
xxx因此 I3?esiny?0,0??2a,0??0
而在I4中，取L的参数方程 x?a?acost,y?asint,t从0到? 于是 I4? ????a0?2bsint?absintcost?absin222t?acost?acostdt
332?????23a???2?ab 2?2???因此，I?I3?I4???3?2?2?ab?a
2?2?xdy?ydx4x?y22例2、计算曲线积分?L，其中L是以（1，0）为圆心，R（>1）为半径的圆周,取
逆时针方向. 解 令P??y4x?y22,Q?x4x?y22
当?x,y???0,0?时,
?Q?x??p?y成立
因此,不能在L 的内部区域用格林公式
设法用曲线C在L 的内部又包含原点在C的内部,这样在C与L围成的二连通区域内可以用格林公式
???x?cos?今取曲线C:? ???R?1? 2??y??sin?
新东方在线 [www.koolearn.com ] 2010考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学
?从2?到0为顺时针方向
令C与L围成区域为D(二连通区域) 根据格林公式
0???Q?p?????x??y?dxdy??D??Lpdx?Qdy??Cpdx?Qdy
(逆时针) (顺时针) 于是 I??Lpdx?Qdy???pdx?Qdy?C?C?pdx?Qdy
(顺时针) (逆时针)
用C的参数公式代入后，得
1I?2??2?220?d???
[注：这里取C为上述椭圆周，最后计算最简单，如果取C为x??cos?,y??sin?的圆
2?周，那么最后的积分就比较复杂I????220?4cos2??sin2??d?]
例3、设函数??y?具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分??y?dx?2xydy2x?y24??L的值恒为同一常数。
??y?dx?2xydy2x?y24?I?证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有??II?求函数??y?的表达式。
C?0；
?I?证 如图，设C是半平面x>0内的任一分段光滑简单闭曲线，在C上任意取定两点M,N，
??作围绕原点的闭曲线MQNRM,同时得到另一围绕原点的闭曲线MQNPM.
根据题设可知
?MQNRM????y?dx?2xydy2x?y24??MQNPM????y?dx?2xydy2x?y24?0
根据第二类曲线积分得性质，利用上式可得
????y?dx?2xydy2x?y24c
??y?dx?2xydy2x?y24＝
?RMN???y?dx?2xydy2x?y24??PNM?
新东方在线 [www.koolearn.com ] 2010考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学
＝
?RMN???y?dx?2xydy2x?y24??PMN???y?dx?2xydy2x?y24
＝＝0
?MQNRM???y?dx?2xydy2x?y24??MQNPM???y?dx?2xydy2x?y24
?II?解：设P＝
??y?2x?y24,Q?2xy2x?y24，P,Q在单连通区域x>0内具有一阶连续偏导数。
由?I?知，曲线积分??Q?x?P?y2y?2x?y24????dx?2xydy2x?y24在该区域内与路径无关，故当x>0时，总有
?Q?xL??P?y。
??2x2??4x?2xy?y?424242??4xy?2y25?2x32?y24?2 ， ①
43????y??2x?y2?2x??4??y?y?y??2x???y?????y?y?4??y?y?2x(3)(4)2?y4?2 ， ②
比较①、②两式的右端，得
?????y???2y,?435?????y?y?4??y?y?2y
由③得 ??y???y2?c ，将??y?代入④得 2y?4cy?2y535,
所以c?0,从而??y???y
三、应用
222?????xyz例 在变力F?yzi?zxj?xyk的作用下一质点由原点沿直线到椭球面2?2?2?1abc2?上第一卦限的点 M??,?,??问?,?,?取何值时，F作功W最大，并求Wmax。 ??解：设线段OM的参数方程 x??t,y??t,z??t,?0?t?1?，则F在OM上作功
W??OM????F?dxi?dyj?dzk????OMyzdx?zxdy?xydz
??103???tdt????
2222?????用拉格朗日乘子法求条件极值。构造函数G??,?,?,?????????1?2?2?2?
abc??
新东方在线 [www.koolearn.com ] 2010考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学
G2???????a2??0 （1） G2???????b2??0 （2）
G2???????c2??0 （3）
2G??1???22?a2?b2??c2?0 （4）
???1?????2?????3?得 3????2???1??0 （5）
由?1?得 ???2?a2?代入（5）得 ?2?a233，则 ??3a，
同理得 ??33b,??33c，
3W???3?max??abc?3abc ?3??9故原点到??3a,33?3??33b,3c??作功最大，最大功为
abc ?9