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§7.4 曲面积分 （数学一）
（甲）内容要点
一、第一类曲面积分（对面积的曲面积分） 基本计算公式
设曲面S的方程 z?z?x,y?,z?x,y??x,y??D
f?x,y,z?在
2在D上有连续偏导数，
2S上连续，则
??f?x,y,z?ds???SD??z???z?f?x,y,zx,y1???????dxdy ?????x?y????这样把第一类曲面积分化为二重积分进行计算
二、第二类曲面积分（对坐标的曲面积分） 基本计算公式
如果曲面S的方程 z?z?x,y?,??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy
S?x,y??Dxy
Z?x,y?在Dxy上连续，R?x,y,z?在S上连续，则
?x,y,z?x,y???dxdy ??R?x,y,z?dxdy????R?SDxy若曲面S指定一侧的法向量与Z轴正向成锐角取正号，成钝角取负号，这样把这部分曲面积
分化为xy平面上的二重积分，其它两部分类似地处理。
三、两类曲面积分之间的关系
??pdydz?Qdzdx?Rdxdy????pcos??Qcos?SS?Rcos??dS
其中cos?,cos?,cos?为曲面S在点?x,y,z?处根据定向指定一侧的法向量的三个方向余弦
?????令F??P,Q,R?,n0??cos?,cos?,cos???????
Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?F?nds????0SS
四、高斯公式
定理 设?是由分块光滑曲面
S围成的单连通有界闭区域，
P?x,y,z?,Q?x,y,z?,R?x,y,z?在?上有连续的一阶偏导数，则
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??P?Q?R??????x??y??z?dv??????Pdydz?Qdzdx?Rdxdy
S(外侧)
????Pcos??Qcos??Rcos??dS
S其中cos?,cos?,cos?为S在点?x,y,z?处的法向量的方向余弦
五、斯托克斯公式
定理：设L是逐段光滑有向闭曲线，S是以L为边界的分块光滑有向曲面，L的正向与S的侧（取法向量的指向）符合右手法则，函数P?x,y,z?,Q?x,y,z?,R?x,y,z?在包含S的一个空间区域内有连续的一阶偏导数，则有
dydzdzdx??yQdxdy??zR??LPdx?Qdy?Rdz???S??xP
???R?Q???Q?P???P?R??dydz??dzdx????dxdy ??????y?z??z?x?x?y?????S?也可用第一类曲面积分
cos?cos???yQcos???zRdS
??LPdx?Qdy?Rdz???S??xP六、梯度、散度和旋度
1、梯度 设u?u?x,y,z?,则gradu???????u?u?u?,,? ??x?y?z?称为u的梯度 ，令???则 gradu??u
???是算子
?x?y?z??,,??2、散度 设F??P?x,y,z?,Q?x,y,z?,R?x,y,z?? ?????P?Q?R?????F 则 divF??x?y?z??称为F的散度
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??高斯公式可写成???divFdv?????????F?n0dS
S （外侧）
???其中n0??cos?,cos?,cos??为外侧单位法向量
3、旋度
??设F??P?x,y,z?,Q?x,y,z?,R?x,y,z?????ijk?????rotF???F??xP??yQ??zR
??R?Q＝???y?z?????P?R????Q?P?????i???k ?j???x??y???z???x??称为F的旋度。
斯托克斯公式可写成 ??L???F?dr????S?????rotF?n0dS
?????其中dr??dx,dy,dz?,n0??cos?,cos?,cos??
（乙）典型例题
一、用基本公式直接计算曲面积分 例1、设S为椭球面
x22?y22?z?1的上半部分，点P?x,y,z??S,?为 S在点P处的切
2平面，??x,y,z?为原点到?的距离，求??Sz??x,y,z?ds
解：先求出??x,y,z?,设?X,Y,Z?为?上任一点，则?的方程为 x?X?x??y?Y?y??2z?Z?z??0
即
x2X?y2Y?zZ?1?0
??x,y,z??0?0?0?1?x??y?2??????z?2??2?22?1124?x?y22
由S的方程z?2?x2y?1????，于是
2??2
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ds???z???z?1?????d?????x???y?224?x?y222d?
2?xy?21????2??22这样 ??Sz??x,y,z?22dS?14???4?xD?y2?d?
区域D:x?y?所以 原式＝
1?2?202
?42?0d???4?r2?rdr?32?
二 用高斯公式计算曲面积分 例1 计算I???saxdydz??z?a?dxdy2x?y?z222222 （a?0常数）
其中S:z??a?x?y上侧(a?0)
?x2?y2?a2下侧 解：令曲面S1:??z?0
于是S1?S为闭下半球面的内侧
设其内部区域为?，令D为xy平面上圆域x?y?a
1?2??I????axdydz?(z?a)dxdy????????aSa?SUSS?111?1??????(3a?2z)dv?a??1?4??a??a?????222则
?1??244adxdy??2?a?2zdv??a??? ?????D?a???0?a?r22??2?0d??a0rdr?zdz???a??2?3
例2 计算I???S(x?1)dydz?(y?1)dzdx?(z?1)dxdy?(x?1)222?(y?1)?(z?1)22?3其中S是不通过点（1，1，1）的球
2面x?y?z?R的外侧 解：设I?22??SPdydz?Qdzdx?Rdxdy通过计算可知?P?x??Q?y??R?z?0
（1） 当S的内部不包含点（1，1，1）时，根据高斯公式可知I = 0
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（2） 当S的内部包含点（1，1，1）时，作曲面
S1:(x?1)?(y?1)?(z?1)?a2222内侧
选a充分大，使S在S1的内部，于是S和S1是二连通区域?的边界曲面，现在
??????P?Q?R???????dv?0 ?x?y?z??根据高斯公式（二连通区域）
??S(外侧)????0
S1(内侧)于是I???S(外侧)???S1S1(内侧)(外侧)?????2
在S1(外侧)上(x?1)?(y?1)?(z?1)?a，故积分可以化简
I??222??S1(外侧)?(x?1)dydz?(y?1)dzdx?(z?1)dxdya?3
令?1是以S1（外侧）为边界的空间区域(x?1)?(y?1)?(z?1)?a再用高斯公式
I?1a32222???3dv??13a3?43?a?4?
3 例3 设对x > 0内任意光滑有向闭曲面S都有
??xf(x)dydzS?xyf(x)dzdx?e2xzdxdy?0
其中f(x)在(0,??)内有一阶连续导数，且limf(x)?1,求f (x)
x?0?解：设?为由曲面S包围的空间区域，由题设和高斯公式得
?????xf?(x)??f(x)?xf(x)?e2x?dv?0
2x由于S的任意性，可知x?0时xf?(x)?f(x)?xf(x)?e?0
即微分方程：f?(x)???112x??1?f(x)?ex?x?x(x?0)
得出通解 f(x)?ex(e?c)
x