特征方程为 s2?(4?2K)s?4K?0 令s?j?，代入特征方程得
?K?2?4?2K?0 ??2?j(4?2K)??4K?0????2?4K???0????22⑤ 该系统根轨迹如题2-4-7解图所示。
（2）实轴上根轨迹的分离点和会合点即为相重实根，其K值分别为
K2?s(s?4)?0.542(s?2)s??1.46K1?s(s?4)?7.46
2(s?2)s?5.46 纯虚根时的K值即为根轨迹与虚轴交点的K值，由（1）所求得之K?2。
2-4-8 系统方框图如题2-4-8图所示，试绘制K由0???变化的闭环根轨迹图。 （1） （2） 题2-4-8图 【解】：（1）根轨迹方程为
R(s)K(2?s)(3?s)C(s)R(s)K(2?s)(3?s)C(s)K?1?(2?s)(3?s)K?1
(s?2)(s?3)K由0???变化为零度根轨迹。
① 开环极点?p1?2,?p2?3。
② 实轴上的根轨迹在区间(??,2][3,??)。 ③ 该系统根轨迹如题2-4-8解（1）图所示。 （2）根轨迹方程为
K??1?(2?s)(3?s)K??1
(s?2)(s?3)K由0???变化为一般根轨迹。
① 开环极点?p1?2,?p2?3。 ② 渐近线与实轴的交点：??2?3?2.5， 2渐近线倾角：???90?。
③ 实轴上的根轨迹在区间[2,3]。题2-4-8解图 ④ 分离点
Q(s)?P(s)?P(s)?Q(s)?0?2s?5?0?s?2.5
⑤ 复平面上的根轨迹与渐近线重合，如题2-4-8解图（2）所示。
（1） （2）
题2-4-8解图
023j?j??023?2-4-9 单位负反馈系统开环传递函数为 G(s)?变化的闭环根轨迹图。
【解】：等效根轨迹方程为
1?2s，绘制K由0???(Ks?1)(s?1)Ks(s?1)?1,当K由0???时为零度根轨迹。
(s?2)① 开环零点?z1?0,?z2??1，开环极点?p1?2。n?m??1，有一个无穷远的极点。
② 实轴上的根轨迹在区间[2,3]。 ③ 分离点和会合点
Q(s)?P(s)?P(s)?Q(s)?0?(2s?1)(s?2)?s2?s?0?s2?4s?2?0
解得s1?4.45为分离点，s2??0.45为会合点。K1?0.10,K2?9.90。 ④ 根轨迹与虚轴的交点
特征方程为 Ks2?(K?1)s?1?0 令s?j?，代入特征方程得
?K?1?K?1?0 ?K??j(K?1)??2?0????2?K??2?0???2??2 j??102?⑤ 复平面上的根轨迹是圆，如题2-4-9解图所示。 2-4-10 系统方框图如题2-4-10图所示，试求： （1）当闭环极点为s??1?3j时的K,K1值；
题2-4-9解图
（2）在上面所确定的K1值下，当K由0???变化的闭环根轨迹图。 【解】：（1）特征方程为 s2?K1Ks?K?0 闭环极点为s??1?3j时的系统特征方程为
(s?1)2?3?0?s2?2s?4?0
R(s)Ks21?K1sC(s)两方程联立求解得
?K1K?2?K?0.5 ??1??K?4?K?4
：
题2-4-10图
（2）系统开环传递函数为G(s)H(s)?等效根轨迹方程为：
K(1?0.5s)s2
?2j?j20.5K(s?2)s2??1
0?j2?当K由0???时为一般根轨迹。
① 开环零点?z1??2，开环极点?p1,2?0。
② 实轴上的根轨迹在区间(??,?2]。 ③ 会合点
题2-4-10解图
Q(s)?P(s)?P(s)?Q(s)?0?s2?(s?2)2s?0?s2?4s?0
解得s1?0为起点，s2??4为会合点，K?16。
④ 复平面上的根轨迹是圆，如题2-4-10解图所示。
2-4-11 系统闭环特征方程分别如下，试概略绘制K由0???变化的闭环根轨迹图。
（1）s3?(K?1.8)s2?4Ks?3K?0 （2）s3?3s2?(K?2)s?10K?0 【解】：（1）由系统闭环特征方程得
s3?1.8s2?K(s2?4s?3)?0
?7.6
j?j3.2等效根轨迹方程为
K(s2?4s?3)s3?18s2?K(s?3)(s?1)s2(s?1.8)??1
1?3?101.8?K由0???变化为一般根轨迹。
① 开环零点?z1??1,?z2??3， 开环极点?p1,2?0,?p3?1.8。
② 实轴上的根轨迹在区间(??,?3][?1,1.8]。 ③ 分离点和会合点
?j3.2题2-4-11（1）解图
Q(s)?P(s)?P(s)?Q(s)?0?s4?8s3?1.8s2?10.8s?0?s(s?1)(s2?9s?10.8)?0
解得s1?0（起点），s2?1（分离点），s3??7.6（会合点），s4??1.4（舍去）。
④ 根轨迹与虚轴的交点 根据特征方程列劳斯表
s3s2s1s01K?1.83K4K?K?1.83K4K3K
令s1行等于零，得K?2.55，代入s2行辅助方程，得
(2.55?1.8)s2?3?2.55?0?s??j3.2
⑤ 该系统根轨迹如题2-4-11（1）解图所示。
（2）由系统闭环特征方程得
s3?3s2?2s?K(s?10)?0
等效根轨迹方程为 K由0???变化为一般根轨迹。
K(s?10)??1
s(s?1)(s?2)① 开环零点?z1??10，开环极点?p1?0,?p2??1,?p3??2。 ② 渐近线与实轴的交点 ???渐近线倾角 ???1?2?10?3.5 2(2k?1)180???90?(k?0,1) 2③ 实轴上的根轨迹在区间[?10,?2][?1,0]。 ④ 分离点
Q(s)?P(s)?P(s)?Q(s)?0?2s3?33s2?60s?2?0
解得s1??0.43（分离点），s2??1.59（舍去），s3??14.48（舍去）。
⑤ 根轨迹与虚轴的交点 根据特征方程列劳斯表
s3s2s1s0110K(K?2)?310K3K?210K
令s1行等于零，得K?得
6，代入s2行辅助方程，7
?10?2?1j?j1.763s?10??0?s??j1.7
72?j1.73.5?⑥ 该系统根轨迹如题2-4-11（2）解图所示。
题2-4-11（2）解图
12-4-12 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 G(s)?
(s?a)(s?1))（1）试概略绘制a由0???和0???变化的闭环根轨迹图；
（2）求出其单位阶跃响应为单调衰减、振荡衰减、等幅振荡、增幅振荡、单调增幅时的a值。
【解】：（1）特征方程为s2?(a?1)s?a?1?0，等效根轨迹方程为：
a(s?1)13(s?)2?()222??1
（a）a由0???变化时为一般根轨迹。 ① 开环零点?z1??1，开环极点?p1,2???j② 实轴上的根轨迹在区间(??,?1]。 ③ 会合点
Q(s)?P(s)?P(s)?Q(s)?0?s2?s?1?(s?1)(2s?1)?0?s2?2s?0
s2?s?1解得s1?0（舍去），s2??2（会合点）。a??s?1?3。
s??2123 2
?1j?j32④ 出射角
123)??90??15?0 2?3?j2??p1?180???(?j??p2??15?0
题2-4-12解图
⑤ 复平面的根轨迹是圆心位于(?1,j0)、半径为1的圆周的一部分，如题2-4-12解图实线部分所示。
（b）a由0???变化为零度根轨迹。 ① 实轴上的根轨迹在区间[?1,??)。
② 会合点计算同上。会合点为s1?0，a??1。
③ 复平面的根轨迹是圆心位于(?1,j0)、半径为1的圆周的另一部分，如题2-4-12解图虚线部分所示。
（2）由根轨迹看出，根轨迹与虚轴的交点在原点，a??1。根轨迹在实轴上重合时，a?3。根轨迹在复平面上时?1?a?3。
结论：系统无等幅和增幅振荡。在?1?a?3取值时,为衰减振荡；a?3时为单调衰减；a??1时为单调增幅。
2-4-13 系统方框图如题2-3-13图所示，绘制a由0???的闭环根轨迹图，并要求：
（1）求无局部反馈时系统单位斜坡响应的稳态误差、阻尼比及调节时间； （2）讨论a?2时局部反馈对系统性能的影响； （3）求临界阻尼时的a值。
R(s)E(s)1s(s?1)asC(s)