题2-4-13图
【解】： 系统开环传递函数为
1s(s?1)1Gk(s)??2
ass?s?as1?s(s?1)系统特征方程为 s2?s?as?1?0 等效根轨迹方程为
a由0???变化为一般根轨迹。
j?ass2?s?1 ??1
j0.87 60??1?0.5??j0.87① 开环零点?z1?0，开环极点?p1,2??0.5?j0.87。 ② 实轴上的根轨迹在区间(??,0]。 ③ 会合点
解得s1?1（舍去），s2??1（会合点）。会合点时的a值
s2?s?1a??s?1
s??1sB 题2-4-13解图
Q(s)?P(s)?P(s)?Q(s)?0?s2?s?1?s(2s?1)?0?s2?1?0 ④ 复平面的根轨迹是圆心位于(0,j0)、半径为1的圆周的一部分，如题2-4-13解图所示。
（1） 稳态误差
系统开环传递函数为Gk(s)?阻尼比和调节时间
方法一：根据题意a?0，对应根轨迹起点
0.87)?0.5 0.51，Ⅰ型系统，k?1,e?1。
vsss(s?1)??cos??cos(arctgts?3??3?6(s)(??5%) 0.5方法二： 对应开环传递函数有
???n?1??n2?1???????0.5?2??n?133ts???6(s)??n0.5?1
（2）由根轨迹看出，此时系统特征根为两个不相等的实根，??1，系统无超调，稳定性变好。但由于其中一个实根更靠近虚轴，使调节时间增长。系统仍为Ⅰ型，开环增益减小，斜坡信号输入时稳态误差增大。
（3）系统闭环根轨迹在实轴上出现会合点时为临界阻尼情况，此时a?1。从特征方程上也可以直接看出。
2-4-14 设单位负反馈系统的开环传递函数为 G(s)?K(s?a)s2(s?1)确定a值，使根轨
迹分别具有：0，1，2个分离点，画出这三种情况的根轨迹。
【解】：根轨迹分离点由下式确定
s2(s?1)?(s?a)(3s2?2s)?0?s[2s2?(1?3a)s?2a]?0
s1?0，s2,3??(1?3a)2?(1?3a)2?16a4
s1为原点处重极点的分离点，s2,3实轴上其他的分离点和汇合点。
（1） 0个分离点
只要原点处有两个极点，无论何种情况，至少有一个分离点，所以令a?0，则开环传递函数为
G(s)?K
s(s?1)当K由0???变化，即零度根轨迹时没有分离点。其根轨迹如题2-2-14解图（1）所示。
（2） 1个分离点
对于一般根轨迹，s1是一个分离点。所以当s2,3不存在，即(1?3a)?16a?0，?a?1时，根轨迹具有一个分离点。
设a?0.5
219G(s)?K(s?0.5)s(s?1)2
渐近线倾角和渐近线与实轴的交点分别为
???90? ????0.25
实轴上的根轨迹在区间[?1,0.5]。
其根轨迹如题2-2-14解图（2）所示。
（3） 2个分离点
当a?19或a?1时，有两个分离点。其中a?1对应零度根轨迹的情况。设a?0.1
G(s)?K(s?0.1)s(s?1)2
渐近线倾角和渐近线与实轴的交点分别为
???90? ????0.45
实轴上的根轨迹在区间[?1,0.1]。 分离点
s1,2?0,?0.4
会合点
s3??0.25
其根轨迹如题2-2-14解图（3）所示。
（1） （2） （3）
题2-2-14解图
?10j?j?j???1?0.50??1?0.450?五 频域分析法
2-5-1 系统单位阶跃输入下的输出c(t)?1?1.8e?4t?0.8e?9t率特性表达式。
【解】： C(s)?L?1[c(t)]??闭环传递函数
11.80.8??C(s)ss?4s?936G(s)???
1R(s)(s?4)(s?9)s?j(tg3636G(j?)??e(j??4)(j??9)?2?16??2?81?1?(t?0),求系统的频
1s1.80.8 ?s?4s?94?tg?1?9)
2-5-2 单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)?4,试求当下列输入信号作用s?1
于闭环系统时，系统的稳态输出
（1）r(t)?sin(t?300)； （2）r(t)?2cos(2t?450)；
（3）r(t)?sin(t?300)?2cos(2t?450)。 【解】：求系统闭环传递函数
GK(s)?4s?1GB(s)?GK(s)C(s)4??R(s)1?GK(s)s?5?jtg?1GB(j?)?44?e2(j??5)??25?5
根据频率特性的定义，以及线性系统的迭加性求解如下：
（1）??1,Ar?1,?1?30? GB(j?)??1?A(1)ej?(1)26cs(t)?Acsin(t??2)?ArA(1)sin?t??1??(1)??0.78sin(t?18.7?)
?4e?jtg?115?0.78e?j11.3?
（2）??2,Ar?2,?1?45?
GB(j?)??2?44?25cs(t)?1.48cos(2t?23.2?)
e?jtg?125?0.74e?j21.8?
（3）cs(t)?0.78sin(t?18.7?)?1.48cos(2t?66.8?)
2-5-3 试求图2-5-3所示网络的频率特性，并绘制其幅相频率特性曲线。 【解】：（1）网络的频率特性
jR2C??1j?CG(j?)??
1j(R1?R2)C??1R1?R2?j?CR2?1
R1??urR2Cuc??（2）绘制频率特性曲线
jT??1G(j?)?1?jT2??1(T1?)2?1(T2?)2?1ej(tg?1题2-5-3图
T1??tg?1T2?)
Im其中T1?R2C,T2?(R1?R2)C,T2?T1。
起始段，??0,A(?)?1,?(?)?0?。
中间段，由于T2?T1，A(?)减小，?(?)先减小
???0T1T2??01Re后增加，即曲线先顺时针变化，再逆时针变化。 题2-5-3解图 终止段，
???,???limA(?)?T1?1,?(?)?0?。 T2网络幅相频率特性曲线如题2-5-3解图所示。
2-5-4 已知某单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)?K，在正弦信号s(Ts?1)r(t)?sin10t作用下，闭环系统的稳态响应cs(t)?sin(10t?)，试计算K,T的值。 2?【解】：系统闭环传递函数为
GB(s)?GK(s)C(s)K ??2R(s)1?GK(s)Ts?s?K??10时系统频率特性为
G(j?)??10??K(K?T?2)?j?K(K?100T)2?100??10?K?K?100T??j1010K?100Te?jtg?1
?A(?)ej?(?)由已知条件得A(?)?Ac??1,?(?)??2??1??，则有 Ar2K??1?K?10?2?? ?(K?100T)?100T?0.1??K?100T?0?
2-5-5 已知系统传递函数如下，试分别概略绘制各系统的幅相频率特性曲线。 （1）G(s)?（3）G(s)?（5）G(s)?（7）G(s)?K(T1s?1)(T2s?1) （2）G(s)?K s(s?1)(T1?T2和T1?T2) K(T1s?1)K(T1s?1),(T1?T2) （4）G(s)?s(T2s?1)s2(T2s?1)25050 （6）G(s)? 2s(s?5)(s?15)s(s?s?1)Ts?1K （8）G(s)?1(T1?T2) s(s?1)T2s?1【解】：对于开环增益为K的系统，其幅相频率特性曲线有两种情况：K?0和K?0。下面只讨论K?0的情况。K?0时，比例环节的相角恒为?180?，故相应的
幅相频率特性曲线可由其K?0的曲线绕原点顺时针旋转180?得到。