数值分析试题
院系,专业： 分数：
姓名,学号： 日期：2005.1. 注：计算题取小数点后四位。 一、 填空题(每小题3分，共15分) 1. 若
?x3?10?x?1? S(x)??132?(x?1)?a(x?1)?b(x?1)?c1?x?2?2是三次样条函数，则a=_______,b=______,c=______.
2. 以n + 1个 整 数 点k ( k =0,1,2,…,n) 为 节 点 的 Lagrange 插 值 基 函 数 为
lk(x)( k =0,1,2,…,n)，则
??klk?0nk(x)?_____.
3. 序列?yn?n=0满足递推关系：yn?10yn?1?1,(n?1,2,...)，若y0有误差, 这个计算
过程是否稳定？____________.
4. 若f(x)?2x4?x2?3,则f[1,2,3,4,5,6]?_____. 5. 下面Matlab程序所描述的数学表达式为__________. for j = 1 : n for i = 1 : m
y ( i ) = A ( i , j )*x ( j ) + y( i )
end
end
二、 简单计算题(每小题6分，共18分)
?134???1. 已知矩阵A?321，求Givens 变换阵G 使GAGT 为三对角阵。（不用计算GAGT） ????411??2.设A???32??，求cond(A)1. ?11??3.确定数值求积公式
?10f(x)dx?311f()?f(1)的代数精度. 434?020???三、 (12分)已知矩阵A?212， ????021?? 用施密特正交化方法求矩阵A的正交分解，即A=QR.
四、(10分) 应用Lagrange插值基函数法，求满足下面插值条件的 Hermite 插值多项式。
xi01yi01'yi0 1五、 (10分)设f(x)三阶连续可导，xi公式的截断误差 f'(x2)?六、(10分)利用求积公式
?x0?ih,i?0,1,2.试推导如下数值微分
f(x0)?4f(x1)?3f(x2)
2h?1f(x)?33
dx?(f()?f(0)?f(?))?3221?x121求定积分2x ?dx。0七、(15分) 用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合下列数据
?xi??yi 并求最小二乘拟合误差?八、(10分)
201.02.03.0
0.20.51.01.2。
?2已知A???0??2x(k?1)?收敛最快？
1??1??b??50,?3,用迭代公式?????031?????()xk(?)a(Axk?b),k(?0,1?,2,0
)求解Ax?b.问a取什么实数可使迭代收敛，且a为何值时
数值分析答案
一、 填空题(每小题3分，共15分)
1. a= 3 , b= 3 , c= 0 . 2.
?klk?0nk(x)?x 3. 不稳定
4. f[1,2,3,4,5,6]?0 5. y?Ax?y,A?Rm?n,x?Rn,y?Rm 二、 简单计算题(每小题6分，共18分)
41.tan??,C?cos??300??1?G??03/54/5????0?4/53/5?? 2. cond(A)1?A1A?1 3. 代数精度为2。
13?,S?sin??5xi2?x2jxixjxi2?x2j?45?4?1?4,A?1?1?1?2??
5?13??三（.12分）u1?(0,2,0)T,u2?(2,1,2)T,u1?(0,2,1)T,v1?u1?(0,2,0)T,?1?(0,1,0)T,v2?u2?(u2,?1)?1?u2??1?(2,0,2)T,?2?v3?u3?(u3,?1)?1?(u3,?2)?2?u3?2?1???u1?2?1???u2??1?22?2?11?u2?2?1??2??3?22??01/2?A?QR??10??01/21?1/2??2??0??022??1/2??002??1/2??1/2?1212(1,0,1)T1(?1,0,1)T2
?2?
四（.10分）H(x)?h1(x)?h1(x)'令h1(x)?x2(ax?b),h1(x)?2x(ax?b)?ax2,??a??2?h1(1)?a?b?1,由?'解得??h1(1)?2(a?b)?a?0,?b?3??h1(x)?x2(?2x?3)令h1(x)??x2(x?1),h(x)??(3x2?2x),由h1(1)???1?h1(x)?x2(x?1)H(x)?h1(x)?h1(x)?x2(?2x?3)?x2(x?1)?2x2?x3五、 (10分)
''1
4h28h3f(x0)?f(x2)?2hf'(x2)?f''(x2)?f'''(?1)23!h2h3f(x1)?f(x2)?hf'(x2)?f''(x2)?f'''(?2)23!
(1)-4*(2)除2h，得f(x0)?4f(x1)?3f(x2)h2(3)f'(x2)??f(?)2h3六、(10分)
?f(x)dx?0111?t1f()dt???22211?1f(?11?t)1?t 2dt1?t22??611?(f(331?2)1?(3)2?f(1)?f(2)1?(3)2)
22222故?x2dx?0?61?((331?2)2?1?1?(2)2?1)?11?
2242296?0.3600
七、(15分)?1(x)?x,?2(x)?x2
?0??0??0.2??1??1??0.5??1???,?2???,Y???,?2??4??1.0???????39?????1.2??1436??a??6.1??a??0.6184??3698??b???15.3?,?b????0.0711??????????? s(x)?0.6184x?0.0711x2?2?(Y,Y)?a(?1,Y)?b(?2,Y)?2.73?0.6184?6.1?0.0711?15.3?0.04560?1????2??(??5)(?2?5??4)八.(10分)解：|?I?A|??0??50???0??3???2???1?1,?2?4,?3?5迭代矩阵B?I?aA的特征值为?1?1?a,?2?1?4a,?3?1?5a|1?a|?1??1?1?a?1??2?a?0,1|1?4a|?1??1?1?4a?1???a?0,22|1?5a|?1??1?1?5a?1???a?0,52当??a?0时，迭代格式收敛。5|1?a|?|1?5a|??（1?a）?1?5a?6a??2?a??1当a??时，收敛最快。313
数值分析试题(A)
院系,专业： 分数：
姓名,学号： 日期：2005.6.29.