I?I1??20f(4)(?)3232(x?(1?))(x?(1?))dx4!33
f(4)(?)23232?(x?(1?))(x?(1?))dx4!?033f(4)(?)2?1?2?(x?1)?dx???04!3??f(4)(?)81(4)??f(?)4!45135
2?a11七.(15分)?(1)x(k?1)?Bx(k)?g D=??1 迭代矩阵B?D(D??A)?? 右端向量g??D?1b?（2）?A严格对角占优,即aii??aijj?1j?ina22??? ???ann???nana111ijij???(B)?B??max??max?1???(1?1)?1
?221?i?nj?1aii21?i?n?j?1aii??j?i??所以此迭代格式收敛.
数值分析试题
院系： 专业： 分数：
姓名： 学号： 日期：2006.5.27 一、 填空题(每空2分，共20分)
??12?1．设A???，则A的奇异值?1?_____.
2?1??2. 已知P2(x)是用极小化插值法得到的sinx在[0,3]上的二次插值多项式，则P2(x)的 截断误差上界为R(x)?sinx?P2(x)?_________.
42 3. 设f(x)?2x?3x?1和节点xk?k,k?0,1,2,? 2则f[x0,x1,?,x5]?________ 和?4f(x0)?_________. 4．如下两种计算e近似值的方法中哪种方法能够提供较好的近似。_____
?1方法1： e?1?91??91??1???? 方法2：e????
n!(9?n)!?n?0??n?0??1?15. 已知?是非线性方程f(x)=0的二重根，试构造至少二阶收敛的迭代格式
__________________.
??x1?x2?8x3??8?6．给出求解线性方程组?9x1?2x2?x3?6 的收敛的Jacobi迭代格式（分量
???x1?8x2?x3?8
形式）______________________及相应的迭代矩阵______________________。 7. 解线性方程组Ax=b的简单迭代格式x(k?1)?Bx(k)?g收敛的充要条件是__________. 8. 下面Matlab程序所解决的数学问题为____________________. function x=fun(A,b)
n=length(b); x=zeros(n,1); x(n)=b(n)/A(n,n); for i=n-1:-1:1
x(i)=(b(i)-A(i,i+1:n)* x(i+1:n))/A(i,i);
end
?x1?1.0001x2?2T
二、(15分) 已知方程组Ax=b，即?有解x=（2，0），
?x1?x2?2(1) 求cond?(A)；
(2) 求右端项有小扰动的方程组??x1?1.0001x2?2.0001的解x??x；
?x1?x2?2(3) 计算
?bb??和
?xx??，结果说明了什么问题。
三、(15分) 已知函数值表
?xi??yi?2?101021210
22在函数空间H?span?1,x2?中求最佳平方逼近多项式，并估计误差?。
（注：取小数点后四位） 四、(15分) 已知函数值表 ?1234?xi?
f(x)?1.12.62.81.6i? 用二次多项式计算x=0.26时函数的较好近似值,并估计误差.
五、(15分)
（1）求[0，1]区间上关于权函数?(x)??lnx的首项系数为1的正交多项式
?0(x),?1(x)。
（2）构造带权?(x)??lnx的高斯型求积公式
(3) 导出此高斯型求积公式的截断误差。
?10?(x)f(x)dx?A1f(x1)
六、(10分)已知近似数x=10的绝对误差限为0.05,试求函数f(x)?20x的相对误差限.
?1?七、(10分) 用Householder方法求矩阵A??1?2?1?302??0?的正交分解，即A=QR。 1??
数值分析答案
一、 填空题(每空2分，共20分)
1. 3 . 2. 964?0.14 3. f[x0,x1,?,x5]?0 和?4f(x0)?3
4. 方法2 5. xk?1?xk?2f(xk)
f'(xk)?1?9?1? 08??1?10??8?8?92?0?x1(k?1)?(6?2x2(k)?x3(k))/9??(k?1)?(8?x1(k)?x3(k))/8迭代矩阵B??16。Jacobi迭代格式?x2J?8?x(k?1)?(?8?x(k)?x(k))/8312?? 7. ?(B)?1 8．解上三角形方程组Ax=b
??1041.0001?104?A??4?4二、 (15分)(1) 10?10??cond?(A)?A?A?1?2.0001?(2.0001?104)?4?104?1? (2) x??x??11? (3)
Tb??22?,?b??0.00010?TTTTT?x?(x??x)?x??11???20????11??bb??
?0.005%和
?xx???50%
虽然方程组右端项扰动的相对误差仅为0.005%，然而此小扰动引起解的相对误差却高达50%，这是由于”系数矩阵的条件数比较大,方程组是病态的”,从而导致上述结果. 三、(15分)?1(x)?1,?2(x)?x2
?(?2)2??1??0???1??1?2?(?1)??????2?1??1?,?2??0?,Y??2?,
?2?????11?????1??22????1???0?????58??510??a??4??a??35??1034??b???2?,?b???3???????????7?5832s(x)??x?1.6572?0.4286x2 357?2?(Y,Y)?a(?1,Y)?b(?2,Y)583?4??2?0.2286357一阶差商二阶差商1.50.2?1.2?0.65?0.7?6?四、(15分)(1)建立如下差商表
xi1234f(xi)1.12.62.81.6
N2(x)?1.1?1.5(x?1)?0.65(x?1)(x?2)N2(0.26)?1.1?1.5?0.74?0.65?0.74?1.74??0.84694N2(x)?2.6?0.2(x?2)?0.7(x?2)(x?3)N2(0.26)?2.6?0.2?1.74?0.7?1.74?2.74??1.08523R2?f(0.26)?N2(0.26)?(2)
0.26?1(N2(0.26)?N2(0.26))1?4?0.26?1(?0.84694?1.08532)?0.05881?4
R2?f(0.26)?N2(0.26)?0.26?4(N2(0.26)?N2(0.26))1?40.26?4?(?0.84694?1.08532)?0.29721?4
五、 (15分) (1)由首1正交多项式的构造公式，可得
?0(x)?1，?1(x)?x?1(x,?0(x))?0(x)
(?0(x),?0(x))11121lnxdx??1,xlnxdx??,xlnxdx???0?04?09??xlnxdx1/41(x,?0(x))?01??,(?0(x),?0(x))14??lnxdx011?1(x)?x?414,
(2) x1?1,4A1???lnxdx,01?10?(x)f(x)dx?f()
(3) Gauss型求积公式的截断误差为
f(2)(?)12f(2)(?)112R(f)??(?lnx)(x?)dx?(?lnx)(x?)dx02!42!?04f(2)(?)111f(2)(?)1117(2)2??(xlnx?xlnx?lnx)dx?(??)?f(?)2!?02162!9816288
1
六、(10分) e(x)?0.05,f'(x)?nx1, n=20 nx