?x1(k?1)?(b1?a12x2(k))/a11五、(15分) (1) 雅可比迭代格式?(k?1) (k)?(b2?a21x1)/a22?x2?x1(k?1)?(b1?a12x2(k))/a11高斯-赛德尔迭代格式?(k?1) (6分) (k+1)x?(b?ax)/a?2221122(2)
0?J????a21/a22雅可比迭代矩阵
?a12/a11?a12a21,记r?,?(J)??0a11a22??a12/a11?,?(G)?r a12a21??a11a22??r ?0高斯-赛德尔迭代矩阵G???0??当r?1时,?(J)?1,?(G)?1;当r?1时,?(J)?1,?(G)?1;
所以雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法要么同时收敛，要么同时发散； (6分)
（3）当r?1时,雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法同时收敛， 由于r?r,即?(G)??(J)，所以高斯-赛德尔迭代法比雅可比迭代法收敛快。 (3分)
六、(10分) 记?(x)?cosx，则?'(x)??sinx。
（1）先考虑区间[-1，1]，当x?[?1,1]时， ?(x)?cosx?[?1,1] ，
?'(x)??'(1)?sin1?1 。故对任意初值x0?[?1,1]，由迭代公式
xk?1?cosxk,k?0,1,2,...产生的序列?xk?k?0 都收敛于方程 x?cosx的根。
(2分)
（2）对任意初值x0?R，有x1?cosx0?[?1,1]，将此x1看成新的迭代初值，则由（1）可知，由迭代公式xk?1?cosxkk,?的根。(3分)
（3）牛顿迭代公式xk?1?xk?分)
七、(15分) (1)x?(1,2,2),y?(?3,0,0),u?x?y?(4,2,2)
TTT?产生的序列0,1,2,...?xk?k?0 都收敛于方程 x?cosx?xk?cosxk,k?0,1,2,... (5
1?sinxk?1??1688???1?2?2?uu??1?844??1??22?1?H1?I?2T??1?12??3??uu????1????844????2?12??T??3?13???AH1A??0132???43??0?x2?(?13,1/3,4/3)T,y2?(?1/3,?17/3,0)Tu2?x2?y2?(0,(1?17)/3,43)00?0??1???uu1??2H2?I?22T2??10(1?17)4(1?17)??17?17?u2u2????1?16???04(1?17)?T?171???017??00?? 1 0 0????1?4??? 0 -0.2425 -0.9701????41??? 0 -0.9701 0.2425??0??17106?? -0.3333 0.8085 0.4849???1?? (10分) Q?H1H2???2172?9??? -0.6667 0.1617 -0.7277?,317??? -0.6667 -0.5661 0.4849??217?76???????13?? -3 -0.3333???3???R?QTA??0?173??? 0 -1.374???0???0???? 0 0 ??171?(2)Q1???217317????21710???13???32?,R1???,??0?173??7????5/3?T Q1R1x?b,R1x?Q1b????517/51?T?10?5?Tx?R1?1Q1b??,???0.5882,?0.2941??1717?T中国石油大学（北京）2007--2008学年第一学期
研究生期末考试试题A (闭卷考试)
课程名称：数值分析 注：计算题取小数点后四位 一、填空题(每空3分，共24分)
??1(1) 设A???2?2??，则A的奇异值为 。 ?2??(2) 设x?0.00013753为真值xT?0.00013759的近似值，则x有 位有效数字。 (3) 设数据x1,x2,x3的绝对误差为0.002，那么x1?x2?x3的绝对误差约为 ____ _。 (4) l0(x),l1(x),?,ln(x)是以x0,x1,?,xn,(n?2)为节点的拉格朗日插值基函数，
则
?(xk?0n2k?2)lk(x)? 。
2(5) 插值型求积公式
?0xf(x)dx??2k?0nAkf(xk)的求积系数之和?Ak? 。
k?0n 其中x2为权函数，n?1。
（6）已知x?(3,4)T,y?(0,1)T，求Householder阵H使Hx?ky，其中k?R。 H= 。 (7) 数值求积公式
?1?1f(x)dx?2?1f?(?)f3?2?(?0)f1(2?___。 )?的代数精度为
?(8) 下面Matlab程序所求解的数学问题是 。
（输入向量x , 输出S） x=input('输入x：x='); n=length(x); S=x (1); for i=2:n
if x (i) 二、(12分) （1）证明对任何初值 x0?R，由迭代公式xk?1?4??2cosxk,k?0,1,2,... 3所产生的序列?xk?k?0都收敛于方程12?3x?2cosx?0的根。 （2）证明它具有线性收敛性。 三、（12分）（1）用辛浦生公式计算积分（2）若用复化辛浦生公式计算积分 ?40exdx的近似值； ?40exdx，问至少应将区间[0，4]多少等分才能保证 计算结果有五位有效数字？ xi四、（12分） 已知数据表 yiwi?2?102230.510.5 （1）构造关于点集和权的正交函数组{?0(x),?1(x)}； （2）利用{?0(x),?1(x)}拟合已知数据点，并求最小二乘拟合误差?2。 ?21??131??的LU分解。五、(12分) 利用Gauss变换阵，求矩阵A??（要求写出分解过 ?13?1???1?2??程） 六、(10分) 已知求解线性方程组Ax=b的分量迭代格式 xi(k?1)?xi(k)?（bi??aijxaiij?1?i?1(k?1)j??aijx(jk)）,j?ini?1,2,?,n （1）试导出其矩阵迭代格式及迭代矩阵； （2）证明当A是严格对角占优阵，??1时此迭代格式收敛。 七、(10分) 用插值极小化方法求 f(x)?e 在[1，2]上的二次插值多项式P2(x)， 并在[1，2]上估计误差。 (已知Chebyshev多项式T3(t)的三个零点t0??0.8660,t1?0,t2?0.8660) ?x八、(8分)已知求解常微分方程初值问题??y'(x)?f(x?y) 的数值格式为 y(x)?y00??h2?y?yn?hf(xn?yn)?f'(xn?yn)[1?f(xn?yn)] ?n?1 2??y(x0)?y0问此数值格式是几阶格式？ 中国石油大学（北京）2007 --2008 学年第 一 学期 研究生期末考试试题标准答案A (闭卷考试) 课程名称: 数值分析 四、 填空题(每空3分，共24分) （1） 3 （2）3 （3）0.006 （4）x2?2 ?4?-58（5） （6）H??3?3??5（8）求向量x的最小值 二、(12分) 记?(x)?4?3??4-??55?或H???4??3?5???53?5? （7）3 ?4?5??22cosx，则?'(x)??sinx。 332cosx?[3,5] ，3（1）先考虑区间[3，5]，当x?[3,5]时， ?(x)?4??'(x)??sinx?232?1 。故对任意初值x0?[3,5]，由迭代公式32?xk?1?4?cosxk,k?0,1,2,...产生的序列?xk?k?0 都收敛于方程 12?3x?2cosx?03的根。 (6分) （2）对任意初值x0?R，有x1?4?2cosx0?[3,5]，将此x1看成新的迭代初值，则30,1,产生的序列2,...?xk?k?0 都收敛于方 ?由（1）可知，由迭代公式xk?1?4?2coxskk,?3程 12?3x?2cosx?0的根。(2分) 22xk?1?x*?(cosxk?cosx*)??sin?(xk?x*)33（3） (4分) **xk?1?xxk?1?x222??sin?,lim?lim?sin???1k??x?x*??x*xk?x*333k 此格式线性收敛性