?2?100??x1??1????x????12?10???2???0? ?0?12?1??x3??0???????00?12???x4??0?七、（12分）给出计算x?2?2?2??的迭代格式，讨论迭代格式的收敛性,
并证明x?2。
八、（8分）求解常微分方程初值问题
?y??f(x,y) ?y(x)?y00?的改进欧拉公式yn?1?yn?h[f(xn,yn)?f(xn?1,yn?hf(xn,yn))]是几阶方法？ 2其中h?xn?1?xn为常数，n?0,1,?。
中国石油大学（北京）2008--2009学年第一学期 研究生期末考试试题标准答案A (闭卷考试)
课程名称：数值分析
题号 得分
一、（30分） 1、
一 二 三 四 五 六 七 八 总分 ?(x?x)； 2、b??2,c?3； 3、1；
ii?0n1?10?2； 5、 是， 1； 211114?3??36、计算S?10?3的值，
10?110?210?10611114)?3)??3)， 其中s2?(((10?310?110?210?106111s1?1014?(3?3??3)，s2会产生大数吃小数的问题。 610?110?210?104、3，
二、（8分）构造差商表：
xi yi 一阶 二阶 三阶 0 1 1 0 -1 1 0 1 2 2 1 1 0 -1 所以插值多项式P(x)?1?x?2x(x?1)?x(x?1)2?(x?1)(?x2?x?1)
三、（8分）方法1：?3?sign(x3)x2?4?0?4?1?3,因x3?2?0,故取k???3??3。 y???3e3?ke3?(0,0,?3,0)T, U?x?y?(2,0,5,1)T,???3(?3?x3)?3(3?2)?15 ??110?10?2?H?I?1T1100??UU?15?0?0?10?5?? ??10??20?514??方法2： 取k?3， y?(0,0,3,0)T, （3分）
U?x?y?(2,0,?1,T 1) （3分） ??02?2?H?I?2UUT1?1?0300?UTU?3?21?? （2分） ?20??2012??四、（12分）span{1,x2}?span{P0,P2},设 S?x??c0P0?c2P2 ???P0,P0??P0,P2???c0???P0,f?????P2,P0??P2,P2??????c???? 2????P2,f???（5分） （3分） 3分） 3分） 2分） （3分）
（ （ （
?2c0?e?e?1?2.350388?即：?2 ?1?c2?e?7e?0.143124?51??1c?(e?e)?1.1751940??2解得：? （3分）
5?c?(e?7e?1)?0.357812??2151S?x??c0P0?c2P2?(e?e?1)?(e?5e?1)?(3x2?1) （3分） 222?0.536715x2?0.996289?2?(f,f)?(f,s)??247?1e?36?0.8135 （3分） 2
五、（10分）方程组的Gauss-Seidel迭代格式为
?x1(k?1)?5?2x2(k)?2x3(k)?(k?1)?(?1?x1(k?1))/3 (5分) ?x2?x3(k?1)?(2?2x1(k?1))/7?其迭代矩阵为
?1??BG???13????207??其特征方程为
?1?2?2??02?2??0??00???022? （3分） ????33??0????0?44??77?????22??3?0?21?3?26?2?0 2?07?解之得
?1??2?0,?3?谱半径?(BG)
26 21?26?1，故迭代发散。 （2分） 21六、（12分）方法1： r1?2, l2??113,r2?2?(?)?(?1)?， 22222435l3??,r3?2?(?)?(?1)?， l4??,r4?， c1?c2?c3?1?
33344?1???1?2L???0???0?方法2：
01?2300??2?100????3?000??10???2??,U??? 410??1??003?????35??1??000?4??4?0?1??1L1??2?0??0?000??1???0100??,L2???0010????0001???0123000??1??00??0?,L3??010?????001???00100130400?1?0???110?0??2?1?1?120?,L?L1L2L3??0?1??3?1???3?0??0?40??0???0???1??
（8分）
?111?由Ly?b得y??1,,,??234?T?4321?由ux?y得x??,,,??5555?T （2分）
（2分）
七、（12分）由题意可得出其迭代格式为xk?1?2?xk. 且0?xk?2
?(x)?2?x,当x?[0,2]时,?(x)?[0,2] （3分）
1?11 ??(x)?(2?x)2?.
222?x 当0?x?2时，??(x)??1?1. 所以迭代格式是收敛的。 （6分）
22?x?2??2? 由limxk?1?x可得，x??2?x?. (x)?2?x,(x)?x?2?0.
k?????解得：x1??1,x2?2. 其中x1??1?0舍去。可得x?2.
? 即解得x?2. （3分）
八、（8分）假定yn?y(xn),将改进欧拉公式写成：
hyn?1?y(xn)?[y?(xn)?f(xn?h,y(xn)?hy?(xn))]
2则在xn处的Taylor展式为
yn?1?y(nx)?
h2?y(n[?x)2''2fn(x,?yf?(x?,n(x))xhnny(x))nhyy(xn)f(nx,y(x?y(nx)?hhy'n(?x)2 （3
yn?''x(3)Oh()分）
另一方面，依Taylor公式
h2y??(xn)?O(h3) （3分） y(xn?1)?y(xn)?hy?(xn)?2因此有 Rn?1?y(xn?1)?yn?1?O(h3)
所以改进欧拉公式是二阶方法。 （2分）
数值分析考试试题
题号 得分 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 所有试题答案写在答题纸上，答案写在试卷上无效 注：计算题取小数点后四位 一、填空题（共30分，每空3分）
1、已知xk(k?0,1,?,n)是互异节点，lk?x?是对应节点的Lagrange插值基函数， P(x)是任意一个首项系数为1的n?1次多项式，则P(x)??P(x)l(x)= 。
kkk?0n32??x?x, 0?x?12、设分段多项式 S(x)??3 2??2x?bx?cx?1, 1?x?2