注：计算题取小数点后5位。
一、 填空题(每空3分，共15分) 1. 形如
?baf(x)dx??Akf(xk)的插值型求积公式，其代数精度至少可达______次，
k?0n至多可达______次。
2．以n + 1个 整 数 点k ( k =1,2,…,n，n+1) 为 节 点 的 Lagrange 插 值 基 函 数 为 lk(x)( k =1,2,…,n,n+1)，则
?lk?1n?1k(0)kn?1?__________.
3. 若f(x)?2x4?x2?3,则f[1,2,3,4,5]?_____.
4. 下面Matlab程序所描述的数学表达式为________________________. for j = 1 : n - 1
b ( j ) = b ( j ) / L ( j , j );
b ( j + 1 : n ) = b ( j + 1 : n ) - b ( j ) * L ( j + 1 :n, j ) ;
end
b ( n ) = b ( n ) / L ( n ,n ); 二、 简单计算题(每小题6分，共18分)
?1?2?5???1. 已知矩阵A???221?，求Householder 变换阵H 使HAH 为三对角阵。
??511???（不用计算HAH）
?12???2. 设A?1?1，求cond(A)2. ????11???2?11???3. 设A?4?12，求A的LU分解。 ????2?23??
三、 (12分) 已知一组线性无关的向量
由此向量组，按Schmidt正交化方法，求一组A?共轭向量组,?100??其中A=??020?.??001??u1?(1,1,?1)T,u2?(2,1,0)T,u3?(0,1,1)T,四、(12分) 应用Lagrange插值基函数法，求满足下面插值条件的 Hermite 插值多项式,
并写出截断误差。
xiyi'yi0001122 0?4x1?x2?2x3?1?五、(12分)设线性方程组为 ?x1?3x2?x3?2
??2x?x?4x?3123?(1) 写出用SOR迭代法求解此方程组的分量计算格式； (2) 当取??2时，SOR迭代法是否收敛，为什么？
1(3) 当取??1时，SOR迭代法是否收敛，为什么？
六、(12分)已知高斯求积公式
?1?f(x)dx?f(0.577?35)f?1(0. 57735)将区间[0,1]二等分，用复化高斯求积法求定积分
?0xdx的近似值。
七、(12分)用最小二乘法确定一条经过点(-1,0)的二次曲线，使之拟合下列数据
?xi??yi0.01.02.03.0
2.02.83.64.8八、(7分)设内积空间H?span??0(x),?1(x),?,?n(x)?,由?0(x),?1(x),?,?n(x)所确定的Gram矩阵为?(?0(x),?0(x))?(?0(x),?n(x))? ?? G????????(?n(x),?0(x))?(?n(x),?n(x))??证明：若G为非奇异矩阵，则?0(x),?1(x),?,?n(x)线性无关。
数值分析答案
一、 填空题(每空3分，共15分)
1. n , 2n+1 . 2. (?1)n(n?1)! 3. f[1,2,3,4,5]?2
4. 解Lx?b,其中L?Rn?n,为下三角阵,x?Rn,b?Rn
二、 简单计算题(每小题6分，共18分)
1.x?(?2,?5)T,???3,y?(3,0)T,u?x?y?(?5,?5)T00??1??H??0?2/3?5/3???0?5/32/3??2. ATA???32?T?17，,AA的特征值为??7,??2,cond(A)???3.5 122?26?2??2?100??2?11?3. A?LU??210??010?
??????1?11????002??111三（.12分）解法1：v1?u1?(1,1,?1)T,?1?v1v1?(,,?)T
222111v2?u2?(u2,A?1)?1?(2,1,0)T?2(,,?)T?(1,0,1)T
222?2?v2v2?(12,0,?12)T
v3?u3?(u3,A?1)?1?(u3,A?2)?21111111T?(0,1,1)T?(,,?)T?(,0,)
22222223?(?1,1,1)T4?3?v3v3?(?,,)T
三（.12分）解法2：v1?u1?(1,1,?1)T,
111222v2?u2??v1?(2,1,0)T?(1,1,?1)T?(1,0,1)T(u,Av1)4???2????1(v1,Av1)4v3?u3??1v1??2v2113?(0,1,1)T?(1,1,?1)T?(1,0,1)T?(?1,1,1)T
424(u,Av1)(u,Av2)11?1??3??,?2??3??,(v1,Av1)4(v2,Av2)2四、（12分）H(x)?h1(x)?2h2(x)令h1(x)??x2(x?2)2,由h1(1)???1,?h1(x)?x2(x?2)2令h2(x)?x2(x?1)(ax?b),'h2(x)?(3x2?2x)(ax?b)?ax2(x?1),
1?a?????h2(2)?4(2a?b)?1,?2由?'解得???h2(2)?8(2a?b)?4a?0,?b?5??415?h2(x)?x2(x?1)(?x?)24H(x)?h1(x)?2h2(x)?x2(x?2)2?2x2(x?1)(??3213x?x2215x?) 24f(5)(?)2R(x)?f(x)?H(x)?x(x?1)(x?2)2
5!??(k?1)(k)(k)(k)(k)x?x?(1?4x1?x2?2x3)1?14???(k?1)(k)(k?1)(k)(k)五.(12分)(1)SOR迭代格式：?x2?(2?x1?3x2?x3) ?x23???(k?1)(k)(k?1)(k?1)(k)x?x?(3?2x1?x2?4x3)3?24?(2)当??2时,SOR迭代法发散。 (3)当??1时,此时SOR迭代法为Gauss-Seidel迭代法，
由于A是严格对角占优的所以SOR迭代法收敛。
11/21六、（12分）
?0xdx??0xdx?1/2?111131xdx???tdt???tdt
4?1444?144111(1?0.57735?1?0.57735?3?0.57735?3?0.57735) 8?0.66924?七（、12分）?1(x)?x?1,?2(x)?(x?1)2?1??1??2??2??22??2.8??1???,?2??2?,Y???,?3??3??3.6? ???2????4??4??4.8??30100??a??37.6??a??1.69414??100354??b???122.6?,?b????0.13226???????????s(x)?1.69414(x?1)?0.13226(x?1)2证明：G非奇异??0(x),?1(x),...,?n(x)线性无关 八、（7分） 反证：假设?0(x),?1(x),...,?n(x)线性相关，存在不全为零的cj(j=0,1,?,n)使?cj?j(x)=0
j=0n(?cj?j(x)，?k(x))=0,k=0,1,...,n
j=0n(x)）cj=0,k=0,1,...,n有非零解, j=0即：GC=0有非零解,jk（?(x)，??nG奇异,矛盾。
数值分析试题(A)
院系： 专业： 分数：
姓名： 学号 日期：2006.1.5。 注：计算题取小数点后四位。
一、 填空题(每小题3分，共15分)