er(f(x))?e(f(x))f'(x)e(x)??f(x)f(x)10.05er(f(x))?e(x)??0.00025nx20?10nx1e(x)1nx?e(x)nnxx
七、(10分)
x?(1,1,2)T,y?(?2,0,0)T,u?x?y?(3,1,2)T?9?1?uu2???H?I?2T??1???3uu12???1????32T312??1232????2????12??2????2?2??152?15266?2?2??2??6??23???2??21?2???HA??0?3?22??R3???1?00??3???
?1??2?Q?H???12???2?2?66?2?2??2??6??23???2
中国石油大学（北京）2006--2007学年第一学期
研究生期末考试试题A (闭卷考试)
课程名称：数值分析
所有试题答案写在答题纸上，答案写在试卷上无效 注：计算题取小数点后四位
题号 得分 一 二 三 四 五 六 七 总分 一、填空题(每空2分，共20分)
(1) 设x?219.15456为真值xT?219.15123的近似，则x有 位有效数字。 (2) 设数据x1,x2的绝对误差分别为0.0005和0.0002，那么x1?x2的绝对误差约为 ____ _。
(3) 设f(x)?4x8?3x4?2x2?1则差商f[20,21,?,28]?_________。 (4) 设求积公式
?1f(x)dx??Akf(xk),(n?1)是Gauss型求积公式，则
n0k?0?nA3kxk? 。
k?0(5) 设A???10??32,则?(A)= 。 ???(6) 数值微分公式f'(xf(xi?h2)?f(xi?h2)i)?h的截断误差为 。
(7) l0(x),l1(x),?,ln(x)是以x0,x1,?,xn为节点的拉格朗日插值基函数，则
?n(xk?1)nlk(x)? 。
k?0(8) 利用两点Gauss求积公式
?1?1f(x)dx?f(?0.5774)?f(0.5774)，则
?20f(x)dx? 。
（9）解初值问题 ??y??f(x,y)?y(x的改进的欧拉法是 阶方法。
0)?y0(10) 下面Matlab程序所求解的数学问题是 。 （输入A , b , 出X）
X=zeros(n,1);
X(n)=b(n)/A(n,n); for i=n-1:-1:1
X(i)=(b(i)-A(i,i+1:n)* X(i+1:n))/A(i,i);
end 二、(15分) 已知函数值表 ??xi0123?f(xi)361012
（1）用x0,x1,x2构造二次Newton插值多项式N2(x)，计算当x?1.2时f(x)的近似值；（2）用事后误差估计方法估计N2(1.2)的误差。
三、（10分）试建立下述形式的求积公式，并确定它的代数精度。
输
?h0f(x)dx?h[a0f(0)?a1f(h)]?h2[b0f'(0)?b1f'(h)]
四、（15分） 已知数据表如下 ，
xi yiwi?2?12211031124 511（1）构造关于点集和权的正交函数组{?0(x),?1(x),?2(x)}
（2）利用{?0(x),?1(x),?2(x)}拟合已知数据点，并求最小二乘拟合误差?五、(15分) 设线性方程组为?2。
?a11x1?a12x2?b1 ，a11a22?0
ax?ax?b?2112222（1）写出解此方程组的雅可比迭代格式和高斯-赛德尔迭代格式（分量形式）；
（2）证明用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解此方程组要么同时收敛，要么同时发散； （3）当同时收敛时试比较其收敛速度。
六、(10分) （1）证明对任何初值 x0?R，由迭代公式xk?1?cosxk,所产生的序列?xk?k?0都收敛于方程x?cosx的根。 （2）写出求方程x?cosx根的牛顿迭代格式。
?k?0,1,2,...
?1?1??1?????七、(15分)已知矛盾方程组Ax=b，其中A?20,b?1， ???????21???1??（1）用Householder方法求矩阵A的正交分解，即A=QR。 （2）用此正交分解求矛盾方程组Ax=b的最小二乘解。
数值分析试卷A答案
三、 填空题(每空2分，共20分)
（1） 5 （2）0.0007 （3）4 （4）1/4 （5） 2 （6）O(h2) （7）(x?1)
n（8）
?2f(x)dx?f(0.42?26)f 7 7 (1. 54（)9） 2
0（10） 解上三角形方程组 二、 (15分) (1)建立如下差商表
xif(xi)一?差商二?差商三?差商03163210412xif(xi)一?差商二?差商162104（4分）
3122-1
N2(x)?3?3x?12x(x?1)N2(1.2)?3?3.6?0.12?6.72(4分)
N2(x)?6?4(x?1)-(x?1)(x?2)
N2(1.2)?6?0.8+0.16?6.96(3分）f(1.2)?N2(1.2)f(1.2)?N?（1.2-0）?（1.2-1）?（1.2-2）2(1.2)（1.2-1）?（1.2-2）?（1.2-3） R?f(1.2)?N(1.2)?1.223(N2(1.2)?N2(1.2))?0.096三、解：令公式对f(x)?1,x,x2,x3都准确成立，则有
??1?a0?a1?1??a0?b0?b1 ?2?1b ??2?a1?21?1??4?a1?3b1解之可得a0?a1?112;b0??b?112，故所求积分公式为 ?hf(x)dx?h2[f(0)?f(h)]?h2012[(f'(0)?f'(h))] (4分) (4分)
(4分)
当f(x)?x4时，左边=
15111h，右边=h5?h2(?4h3)?h5 152126右边?左边，所以原公式只具有3次代数精度。 (2分) 四、解：（1）首先构造构造关于点集和权的首一正交多项式?i(x),i?0,1,2. 显然?0(x)?1，设?1(x)?x?a，
?2(x)?x2?b1x?b2
?4?2b1?b2??1???2?a??1?b?b??1???1?a?12??????? b2则?0??1?,?1??a?,?2????????1?b?b11?a12??????????1???2?a???4?2b1?b2???,1x(?)?)T1??0a=0，故有 由 (?0(x) 得0?1(x)?x。
?,2x(?)?)T2??(?1(x)?,2x(?)?)T2??由 (?0(x)和0得 001
?10b1?0?b1?0 ，即? ?10?5b?0b??2?2?2因此，?2(x)?x2?2。(5分)
（2）设p2(x)?a0?0(x)?a1?1(x)?a2?2(x)，则
(?0(x),y)?TY16a0??T0?(?0(x),?0(x))?0?05T(?1(x),y)?1Y4a1??T?
(?1(x),?1(x))?1?15(?2(x),y)?TY1a2??T2?(?2(x),?2(x))?2?27?p2(x)??21641?x?(x2?2) (5分) 557222?||Y||2?a0(?0(x),?0(x))?a1(?1(x),?1(x))?a2(?2(x),?2(x))
?58?(162414)?5?()2?10?()2?14??0.1143 (5分) 55735