E?hv??ec
2此外，还有
E?pc?hc?
于是，有
hc??
??ec2
2??hc?ec
?1.24?100.51?10?3?66mm
?2.4?10?2.4?10?12nm尽管这是光子转化为电子的最大波长，但从数值上看，也是相当小的，我们知道，电子是自然界中最轻的有质量的粒子，如果是光子转化为像正反质子对之类的更大质量的粒子，那么所对应的光子的最大波长将会更小，这从某种意义上告诉我们，当涉及到粒子的衰变，产生，转化等问题，一般所需的能量是很大的。能量越大，粒子间的转化等现象就越丰富，这样，也许就能发现新粒子，这便是世界上在造越来越高能的加速器的原因：期待发现新现象，新粒子，新物理。
第二章波 函数和薛定谔方程
2.1证明在定态中，几率流与时间无关。 证：对于定态，可令
?(r，t)??(r)f(t)???Et ??(r)e?i? J?(???2m ? ?i?2mi?2m*i??????)
iiii*?Et???Et???Et*???Et*??[?(r)e?（?(r)e）??(r)e?（?(r)e）]??*?*?[?(r)??(r)??(r)??(r)]? 可见J与t无关。
2.2 由下列定态波函数计算几率流密度： (1)?1???1reikr ( 2 )? 2?1re?ikr
从所得结果说明?1表示向外传播的球面波，?2表示向内(即向原点) 传播的球面波。 解：J1和J2只有r分量
6
???1??1?
在球坐标中 ??r0?r?e?r???e?rsin??? (1) J?i?**1?2m(?1??1??1??1) ?i?2m[1reikr?1?ikr1?ikr?1ikr??r(re)?re?r(re)]r0 ?i?[1(?111112mrr2?ikr)?r(?r2?ikr)]r?
0 ??kmr2r??k?0?mr3r ?J?1与r同向。表示向外传播的球面波。
(2) ?Ji?*2?2m(?2??2??*2??) ?i?1?ikr?1ikr?1?ikr2m[re?r(re)?1ikrre?r(re)]?r0
?i?2m[1r(?11111?r2?ikr)?r(?r2?ikr)]r0 ???k??k???mr2r0??mr3r 可见，J2与r反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。
补充：设?(x)?eikx，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？ ???*?dx???dx??
? ∴波函数不能按??(x)2dx?1方式归一化。
? 其相对位置几率分布函数为 ???2?1表示粒子在空间各处出现的几率相同。
2.3 一粒子在一维势场
??，x?0 U(x)???0， 0?x?a ???，x?a中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：U(x)与t无关，是定态问题。其定态S—方程
22 ??d2mdx2?(x)?U(x)?(x)?E?(x)
在各区域的具体形式为
7
Ⅰ：x?0 ? Ⅱ： 0?x?a ? Ⅲ：x?a ????22ddd2222mdx222?1(x)?U(x)?1(x)?E?1(x) ①
2mdx2?2(x)?E?2(x) ②
2mdx由于(1)、(3)方程中，由于U(x)??，要等式成立，必须
?3(x)?U(x)?3(x)?E?3(x) ③
?1(x)?0 ?2(x)?0 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。 方程(2)可变为d2?2(x)dx2?2mE?2?2(x)?0
令k2?2mE，得
?2
d2 ?2(x)dx2?k2?2(x)?0
其解为 ?2(x)?Asinkx?Bcoskx ④
根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得 ?2(0)??1(0) ⑤
?2(a)??3(a) ⑥
⑤ ?B?0 ⑥
?A?0?sinka?0
?ka?n? ( n ?1, 2, 3,?) ∴?n?2(x)?Asinax
由归一化条件
??(x)2dx?1 ?a得 A2?sin2n?xdx?1
0a由
?am?bsinax?sinn?axdx?a2?mn
?A?2 a
??22(x)?asinn?ax ?k2?2mE2
?22 ?E2n???2ma2n ( n ? 1,2,3,?)可见E是量子化的。
?Asinka?08
对应于En的归一化的定态波函数为
i?Ent?2n??sinxe, 0?x?a? ?n(x,t)??a a? 0, x?a, x?a? #
12.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是A??
a证
（2.6-14）
由归一化，得
1?：
?nn???Asin(x?a), ?a??? 0, ?x?ax? a
??2?2ndx??a?aA?sinn?aa22n?a(x?a)dx?A?A?2?a12a?a[1?cosA?222(x?a)]dxn?an?a2 ?x?a?A?2?a?acos(x?a)dxa
?A?a??A?a22?n?sin(x?a)?a ∴归一化常数A??1a #
2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。 解：?(x)??2??2?xe2122??x2 ?2??xe2??x22?1(x)??1(x)?4?2??x222?
2? ? 3
??xe 令
d?1(x)dx ?2?3?[2x?2?x]e23??x22
d?1(x)dx ?0，得
1 x?0 x?? x???
? x???时，?1(x)?0。显然不是最大几率的位置。 由?1(x)的表达式可知，x?0 ， 9
而 d?1(x)dx322 ?2?3
??22[(2?6?x)?2?x(2x?2?x)]e44??x2222223??x224?
?[(1?5?x?2?x)]e
d?1(x)dx122 x??12??24?31?e?0
可见x????????是所求几率最大的位置。 #
2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U(?x)?U(x)，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。
证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为 ??2d222?dx?(x)?U(x)?(x)?E?(x) ①
将式中的x以(?x)代换，得 ??2d222?dx?2?(?x)?U(?x)?(?x)?E?(?x) ②
利用U(?x)?U(x)，得 ?d222?dx?(?x)?U(x)?(?x)?E?(?x) ③
比较①、③式可知，?(?x)和?(x)都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此?(?x)和?(x)之间只能相差一个常数c。方程①、③可相互进行空间反演 (x??x)而得其对方，由①经x??x反演，可得③，
? ? (?x)?c?(x) ④
由③再经?x?x反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。 ? ? (x)?c?(?x) ⑤ ④乘 ⑤，得
?(x)?(?x)?c?(x)?(?x)
可见，c?1
c??1
当c??1时， ?(?x)??(x)，??(x)具有偶宇称， 当c??1时， ?(?x)???(x)，??(x)具有奇宇称，
当势场满足 U(?x)?U(x)时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。#
2.7 一粒子在一维势阱中
??U0?0, x ?a U(x)??
?? 0 , x ? a22运动，求束缚态(0?E?U0)的能级所满足的方程。 解法一：粒子所满足的S-方程为
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