?1(0)??2(0) ? B??A ∴ ?2?A(ek3x?e?k3x3x) ?e?k3x ?2(a)??3(a)?A(ek?(a)??3?(a)?Ak1(ek ?33a)?Csink2a?Dcosk2a ⑦
2?e?k3a)?Ckcosk2a?Dk2sink2a ⑧
?k3b ?3(b)??4(b)?Csink2b?Dcosk2b?Fe⑨
3?(b)??4?(b)?Ck2sink2b?Dk2cosk2b??Fk3e?kb ⑩ ?3k1aa由⑦、⑧，得
k1e?e?k1a?Dcosk2akk1a?k?Ccosk21a2e?eCsink2a?Dcosk2a (11)
由 ⑨、⑩得(k2cosk2b)C?(k2sink2b)D?(?k3sink2b)C?(k3cosk2b)D (k2kcosk2b?sink22b)C?(?k
3kcosk2b?sink2b)D?0 (12)3k1a?e?k1a 令??ek1ek1a?e?k?1ak，则①式变为
2 (?sink2a?cosk2a)C?(?cosk2a?sink2a)D?0 联立(12)、(13)得，要此方程组有非零解，必须 k2k2
(kcosk2b?sink2b)(?3ksink2b?cosk2b)3?0 (?sink2a?cosk2a)(?cosk2a?sink2a)即 (?coskk22a?sink2a)(kcosk2b?sink2b)?(?sink2a?cosk2a)?3 ?(?k2ksink2b?cosk2b)?03 ?k2coskk2k2bcosk2a?3ksink2bsink2a??sink2bcosk2a?3 ?sinkk22bsink2a??ksink2bsink2a?k23ksink2bcosk2a)?
3 ??cosk2bsink2a?cosk2bcosk2a?0 sinkk22(b?a)(??k)?cosk2(b?a)((?k23k?1)?03 tgk k22(b?a)?(1?k?)(k23k??)3 把?代入即得
tgkkk1ak1a2e?e?k1a?e?k1a2(b?a)?(1?k1a?k(k2?k1e1a)1a3ek?ek3kk2e?e?k
1a) 此即为所要求的束缚态能级所满足的方#
附：从方程⑩之后也可以直接用行列式求解。见附页。
程。16
(ek1a?e?k1a)?sink2a?cosk2a0(ek1a?e?k1a)k2?k2cosk2ak2sink2a00sink?02bcosk2b?e?k3a0kk3a2cosk2b?k2sink2bk?3e?k2cosk2ak2sink2a00?(ek1a?e?k1a)sink2bcosk2b?e?k3a?k2cosk2b?k2sink2bk?k3a3e?sink2a?cosk2a0 ? k 1(ek1a?e?k1a)?sink2bcosk2b?e?k3ak2cosk2b?k2sink2bk?k3a3e ? (ek1a?e?k1a（)?k?k3a2?k3a2k3ecosk2acosk2b?k2esink2a c o s k?k3ak2?k3a2b?k2k3esink2asink2b?2ecosk2asink2b） ? k k1b1 (e?e?k1b（)k?k3b?k3b2k3esink2acosk2b?k2ecosk2a c o s k?k3b?k3b2b?k3ecosk2asink2b?k2esink2asink2b））?(ek1a?e?k1a)[?k2?k3b2k3cosk2(b?a)?k2sink2(b?a)]e ?(ek1a?e?k1a)[k?k3b1k3sink2(b?a)?k1k2cosk2(b?a)]e ?ek1a[?(kk2?k3b1?k3)k2cosk2(b?a)?(2?k1k3)sink2(b?a)]e
e?k1a[(k)k2?k3b1?k32cosk2(b?a)?(k2?k1k3)sink2(b?a)]e?0? [?(k)k2?a)]e?k3b1?k32?(k2?k1k3)tgk2(b?k2?k3b
?[(k13)k2?(k2?k1k3)tgk2(b?a)]e?0
[(k2?kk2k1a?(k2?k2k1a213)e21k3)]tgk2(b?a)?(k1?k3)k2e ? ( k 1?k3)k2?0 此即为所求方程。 #
补充练习题一
1、设 ?(x)?Ae?1222?x(?为常数)，求A = ？ 解：由归一化条件，有 1?A2????2x2???2x2??ed( x)?A21????ed(? x)
?A21e?y22 利用???y2?????dy?A1?? ??edy?? ∴A??? #
2、求基态微观线性谐振子在经典界限外被发现的几率。
解：基态能量为E10?2??
17
设基态的经典界限的位置为a，则有
11 E0???2a2???
22 ∴a? 在界限外发现振子的几率为
????1??a0
? ?
? ? a ? ? 2 2 0 2 2 ?? x ? x dx (?? dx e e ? ?
0 ? ? ? ? a
0
?
2?
? 2 2 ? x e ? ) ?
??2???2????a0?eee??x22dx (偶函数性质d(? x))?(?x)2a0? ???y2?21dy2
?2[????e?ydy?2?21?1??e?y2dy]2?t/22??[??12?x?e??edt] （令 y?12t) 式中 当x?12?2??e?t/22dt为正态分布函数?(x)???2???t/22dt
??2时的值?(2)。查表得?(2)??0.92
∴???? ∴在经典极限外发现振子的几率为0.16。 #
3、试证明?(x)?[????0.92] ?2(1?0.92)?0.16
?3?e122??x2(2?x?3?x)是线性谐振子的波函数，并求此波函数对
33应的能量。
证：线性谐振子的S-方程为 ??2d22?dxddx?(x)?12ddx2??x?(x)?E?(x) ①
22 把?(x)代入上式，有
?(x)??3?[?3?3e122??x2(2?x?3?x)]122??x233 ?[??x(2?x?3?x)?(6?x?3?)]e122??x2332
?d?(x)dx22?3?e(?2?x?9?x?3?)5432122??x?d??54322?e(?2?x?9?x?3?)? ?dx?3?? 18
?122122??x??x??2543253322??xe(?2?x?9?x?3?)?e(?8?x?18?x)?? 3?????(?x?7?)422422?3?e122??x2(2?x?3?x)33
?(?x?7?)?(x) 把
ddx22?(x)代入①式左边，得
左边???2d?(x)dx2222?2?12?2??x?(x)?x?(x)??24222 ? 7 ??2??(x)??21222???x?(x)1222 ? 7 ?????2??(x)?2?（???）x?(x)?4??x?(x)
227112222 ? ???(x)???x?(x)???x?(x)2227 ? ???(x)2右边?E?(x)72 当E???时，左边 = 右边。 n = 3
?(x)?为 72??。
?d3?dxe122??x2是线性谐振子的波函数，其对应的能量(2?x?3?x)，
33第三章 量子力学中的力学量
】
3.1 一维谐振子处在基态?(x)? (1)势能的平均值U? (2)动能的平均值T?12p22??e??x222i??t2，求：
??x；
22?；
(3)动量的几率分布函数。 解：(1) U?12??2x2?1212????2????????xe12??x22dx
122 ? ?
2?2?22?2????12?2?14??2????
14??
19
??nn?1)?0x2e?ax2dx?1?3?5???(22n?1ana (2) T?p2?*2??12???(x)p?2???(x)dx ??1?12?12?2x2(?2?2x2dx
?2???e???2ddx2)e ???22222?2??2????(1??x)e??xdx
???2?2[????2x22??2x2?2???edx??2????xedx] ???22?2] ?2??[?????2?3 ???2?2?2?2?2??2?2?4???4?????
?14??
或 T?E?U?12???14???14??
(3) c(p)???*p(x)?(x)dx ?12??????1222?xPx??? ee?i?dx
?1???12?2x2i2?e?Px?dx
????? e21???1 ??2?dx
???2?2(x?ip2p?? e?2)??2?2221?p?12?2(x?ip2 ??2?2?2??2??e????? e2)dx
1??p22?p2 ?2?2?222???e???1?e2?2?
??
动量几率分布函数为 2 ?(p)?c(p)2?p?1e?2?2?
??#
3.2.氢原子处在基态?(r,?,?)?1e?r/a0，求：
?a30 (1)r的平均值； (2)势能?e2r的平均值；
20