??2d222?dx 按势能U(x)的形式分区域的具体形式为
?(x)?U(x)?(x)?E?(x)
Ⅰ：? Ⅱ：???2dd2222?dx2?1(x)?U0?1(x)?E?1(x) ???x?a ①
?2(x)?E?2(x) ?a?x?a
2?dx2② 2 Ⅲ：??d22?dx2?3(x)?U0?3(x)?E?3(x) a?x?? 整理后，得
Ⅰ： ?2?(U0?E)1????2?1?0 ④
Ⅱ：. ??2? E2?? ⑤
?2?2?0 Ⅲ：????2?(U0?E)32 ⑥
??3?0 令 k21?2?(U0?E)?2 k22?E2?
?2 则
Ⅰ： ?1???k21?1?0 ⑦
Ⅱ：. ??2??k22?2?0 ⑧ Ⅲ：??3??k21?1?0 ⑨ 各方程的解为
??k1x1?Ae?Bek1x ?2?Csink2x?Dcosk2x
??k1x?Fe?k1x3?Ee 由波函数的有限性，有
?1(??)有限 ? A?0?)有限 ? E ?0
3(?因此 k1x
?1?Be?
Fe?k1x3? 由波函数的连续性，有
??k1a1(?a)??2(?a),?Be??Csink2a?Dcosk2a (10)
??(?a),?k?k1a1?(?a)??21Be?k2Ccosk2a?k2Dsink2a (11)???k
1a2(a)?3(a),?Csink2a?Dcosk2a?Fe (12)??2(a)??),?k?k1a3?(a2Ccosk2a?k2Dsink2a??k1Fe (13) 整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得
③ 11
e?k1aB?sink2aC?cosk2aD?0?0 B?k2cosk2aC?k2sink2a D?0?0?k1a
k1e?k1a
0?sink2aC?cosk2aD?eF?0?k1a0?k2cosk2aC?k2sink2aD?k1eF?0 解此方程即可得出B、C、D、F，进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必须
e?k1asink2a?cosk2a0?k1a
k1e?k2cosk2a?k2sink2a00sink2acosk?0
2ae?k1a0k2cosk2a?kk?k1a2sink2a1Be?k2cosk2a?k2sink2a00?e?k1asink2acosk2a?e?k1a?k2cosk2a?k2sink2ak?k1a1esink2a?cosk2a0 ?k?k1acosk1a1esink2a2a?e?k?kk?k?k1a2cos2a2sink2ak1e
?e?k1a[?k?k1a22?k1a1k2ecosk2a?k2esink2acosk2a?
?k?k1a2ka1k2esin2a?k22e?k1sink2acosk2a]? ?k?k1a[ke?k1asink?k1a1e2acosk2a?k2ecos21k2a? ?k?k1a?k1a21esink2acosk2a?k2esink2a] ?e?2k1a[?2k221k2cos2k2a?k2sin2k2a?k1sin2k2a] ?e?2k1a[(k222?k1)sin2k2a?2k1k2cos2k2a] ∵ e?2k1a?0
∴(k222?k1)sin2k2a?2k1k2cos2k2a?0
即 (k222?k1)tg2k2a?2k1k2?0为所求束缚态能级所满足的方程。# 解法二：接（13）式
?Csinka?Dcoskkk22a?2kCcosk2a?2Dsink2a
1k1 Csinkk22a?Dcosk2a??kCcosk2a?k21kDsink2a
1 12
k2k2kcosk2a?sink2asink2a?cosk2a1k1k?2kcosk2a?sink2a?(k021ksink2a?cosk2a)1?(k2coskk2k2a?sink2a)(k2a?cosk2a)1ksin1?(k2coskk2k2a?sink2a)(sink2a?cosk2a)?01k1 (k2coskk2k2a?sink2a)(sink2a?cosk2a)?01k1k2 2k22k2sink2acosk2a?sink22a?k1k1kcos2k2a?sink2acosk2a?01 (?1? k22k2)sin2kk22a? 21kcos2k2a?01 (k222?k1)sin2k2a? 2k1k2cos2k2a?0#
解法三：
(11)-(13)?2k?k1a2Dsink2a?k1e(B?F)
(10)+(12)?2Dcosk?k1a2a?e(B?F)
(11)?(13)(10)?(12)?k2tgk2a?k1 (a)
(11)+(13)?2k?ik1a2Ccosk2a??k1(F?B)e
(12)-(10)?2Csink2a?(F?B)e?ik1a
( 11 ) ? ( 13 ) ( 12 ) ? ( 10 )
?
k 2 ctgk 2 a ? ? k 1
令 ??k2a，??k2a， 则
? tg??? (c)或? ctg???? (d)
?2??2?(k2?k2)?2?U20a12?2 (f)
合并(a)、(b)：
tg2kk1k22a?2k22 利用tg2k2a2a?2tgk2?k11?tg2k2a
#
解法四：（最简方法-平移坐标轴法） 2 Ⅰ：??2??1???U0?1?E?1 （χ≤0） Ⅱ：??22???2??E?2 （0＜χ＜2a）
13
Ⅲ：??22???3??U0?3?E?3 （χ≥2a）
???1???2?(U0?E)2?1?0?? ?????2??2?E?2? ??20??????2?(U0?E)?3?2?3?0??222?1???k1?1?0 (1) k1?2?(U0?E)????2??k22??0 (2) k2?E?222?2束缚态0＜E＜U0????3??k21?3?0 (3)?x1?Ae?k1?Be?k1x?2?Csink2x?Dcosk2x ?3?Ee?k1x?Fe?k1x ?1(??)有限 ? B?0?3(?)有限 ? E ?0
因此
??k1x1?Ae ??k
3?Fe1x 由波函数的连续性，有
?1(0)??2(0),?A?D (4)?1?(0)???2(0),?k1A?k2C (5)??(2a)??3?(2a),?k2Ccos2k2a?k2Dsin2k2a??k1Fe?2ka (6)
12?2(2a)??3(2a),?Csin2k2a?Dcos2k2a?Fe?2k1a ( 7 )(7)代入(6)
Csin2k2a?Dcos2k2a??k2kCcos2k2a?k2k2a
1kDsin21 利用(4)、(5)，得 k1kAsin2kAcos2kk2a?2a??Acos2k22a?Dsin2k2a2k1A[(k1k?k2)sin2k2a?2cos2k2a]?02k1 ?A?0
?(k1k?k22k)sin2k2a?2cos2k2a?01两边乘上(?k1k2)即得(k222?k1)sin2k2a?2k1k2cos2k2a?0 #
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2.8分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为 ??, x ? 0 ， ? U(x)??U?0, 0 ?x?a，??U1, a ?x?b，
??0, b ? x ， 求束缚态的能级所满足的方程。
解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。 定态S-方程为 ??2d22?dx2?(x)?U(x)?(x)?E?(x) 对各区域的具体形式为 Ⅰ：??22??1???U(x)?1?E?1 (x?0) Ⅱ：??22???2??U0?2?E?2 (0?x?a) Ⅲ：??22???3??U1?3?E?3 (a?x?b) Ⅳ：??22???4??0?E?4 (b?x) 对于区域Ⅰ，U(x)??，粒子不可能到达此区域，故 ?1(x)?0 而 . ????2? (U0?E)2 ①
?2?2?0 ????2? (U1?E)32 ②
??3?0 ??2?E4???2?4?0 ③
对于束缚态来说，有?U?E?0
∴ ??222? (U0?E)2??k1?2?0 k1??2 ????k222? (U1?E)33?3?0 k3??2
??4??k24?4?0 k24??2?E/?2
各方程的解分别为
?k1x?Be?k1x2?Ae ?3?Csink2x?Dcosk2x
??k3x?k3x4?Ee?Fe 由波函数的有限性，得
?4(?)有限， ? E?0 ∴ ??k3x4?Fe
由波函数及其一阶导数的连续，得
④ ⑤ ⑥
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