p21? ??2(??02?)?0?(??2?)2??(?2?p220)
(?x)2?x2?x2?12?
(?p)2?p2?p2?(?2p22?22??0)?p0?2?
(?x)2?(?p)2?1??2122?2??4?
#
3.13利用测不准关系估计氢原子的基态能量。
解：设氢原子基态的最概然半径为R，则原子半径的不确定范围可近似取为
?r?R
由测不准关系
2 (?r)2?(?p)2??4
得 (?p)2??24R2
对于氢原子，基态波函数为偶宇称，而动量算符?p为奇宇称，所以
p?0
又有 (?p)2?p2?p2 所以 p2?(?p)2??24R2
可近似取 p2??2R2 2 E?P2能量平均值为2??esr
2作为数量级估算可近似取
e2s?esrR
?22则有 E?2?R2?esR
基态能量应取E的极小值，由
?E2s?R???2?R3?eR2?0
2得 R???e2
s代入E，得到基态能量为 Ee4smin???2?2
补充练习题二
1．试以基态氢原子为例证明：?不是T?或U?的本征函数，而是T??U?的本征函数。 31
解：?100?14?2(1a0)3/22e?r/a0? es1 ( ?) 2a0?)?1sin?(sin????)?122???T???U??T?122?resr2[??r(r2??r?22sin???]
??100?21?22?r2?r((r12??100?r3/2)2
(r2a0r??r)ee?r/a0? ? ? 2? ? ? ?21?1a01)?1?r1202?r?)?22??(a0)3/2(?r/a0a??2?a(120?2a0r)?100 ? 常数 ??100?的本征函数 ?100不是T?? U??100esr2?100
?的本征函数 可见，?100不是U??)?而 ( T ?U100???212??2?120(1a0)3/2(?1a220?2a0r)e?r/a0?esr2?100
? ?2?a?2?100??100?a0r?100??2?a0r?100 ? ? 1202?a可见，?
100??U?)的本征函数。 是(T2．证明：L?率最大。
6?，L???的氢原子中的电子，在??45?和 135?的方向上被发现的几
2 解： ?W?m(?,?)d??Y?m ∴ W?m(?,?)?Y?m L?d?
2
6?，L???的电子，其??2, m??1
? Y21(?,?)??158?158?2sin?cos? ei?
Y2?1(?,?)??
sin?cos? e?i?∴W2?1(?,?)?Y?m当??45?和 135?时 W2?1?
?158?sin?cos??221532?sin2?
21532?为最大值。即在??45?，??135?方向发现电子的几率最大。
32
在其它方向发现电子的几率密度均在0～
1532?之间。
3．试证明：处于1s，2p和3d态的氢原子的电子在离原子核的距离分别为a0、4a0和9a0的球壳内被发现的几率最大(a0为第一玻尔轨道半径 )。 证：①对1s态，n?1, ??0, R1?r/a010?(a)3/2e
0W2210(r)?rR10(r)?(13a)4r2e?2r/a0
0?W2
1032?r?(1a)4(2r?ar)e?2r/a000 令
?W10?r?0 ?r1?0, r 2??, r3 ?a0 易见 ，当?r1?0, r2??时，W10?0不是最大值。
W4210(a0)?ae?为最大值，所以处于1s态的电子在 r?a0处被发现的几率最大。0 ②对2p态的电子n?2, ??1, R121?(2a)3/2re?r/2a003a
0214W21(r)?r2R21?(2a)3r2r2e?r/a0
03a0?W
213r?r/a0?r?124a5r(4?a)e00 令
?W21?r?0 ?r1?0, r 2??, r3 ?4a0 易见 ，当?r1?0, r2??时，W21?0为最小值。
?2W21?r2?128rr224a5r(12?)e?r/a0
0a?0a20?2
W2112?4?r2?3e?4?0
r?4a24a5?16a0(12?32?16)e??8003a0 ∴ r?4a0为几率最大位置，即在r?4a0的球壳内发现球态的电子的几率最大。 ③对于3d态的电子 n?3, ??2, R32?(2/21r2?r/3a0a)308115(a)e
0WR21632(r)?r232?1
a7812?15re?r/3a0 ?W?852r
32?2r/3a0?r812?15a7r(6?3a)e00 令
?W32?r?0 ?r1?0, r 2??, r3 ?9a0 易见 ，当?r1?0, r2??时，W32?0为几率最小位置。
33
2
?W3216r52r6?2r/3a0?r2?812?15a7(15r2?42)e
0a?09a0?2W81a232?10?627(9a40)(15?36a0
?r2r?9a81?15a00a?2?2)e09a0
??16?65a3e?00 ∴ r?9a0为几率最大位置，即在r?9a0的球壳内发现球态的电子的几率最大。
4. 当无磁场时，在金属中的电子的势能可近似视为
U(x)??0, x?0 (在金属内部)??U0, x?0 ( 在金属外部 )
其中 U0?0，求电子在均匀场外电场作用下穿过金属表面的透射系数。
解：设电场强度为?，方向沿χ轴负向，则总势能为 V(x)??e? x ( x ?0)，
V（x）?U0?e? x （ x ? 0） 势能曲线如图所示。则透射系数为 D?exp?[2x1??x2?(U0?e? x?E)dx]
2式中E为电子能量。x1?0，x2由下式确定 p?2?(U0?e? x?E)?0
∴ xU0?E2?e?
令 x?U0?Ee?sin2?，则有
?x1U0?E2x2?(U0?e? x?E)dx?2?2?02?(U0?E)?e?2sin? d?U3 ? 20?E2?(UE)(?cos?2?e?0?3)
0 ? 2U0?E3e?2?(U0?E) ∴透射系数D?exp[?2U0?E3?e?2?(U0?E)]
5．指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。
2n ① 4x2ddx2； ② ?? 2 ； ③ ? K?12 解：①4x2ddx2是线性算符
34
2? 4 x2d2d2
dx2(c1u1?c2u2)?4x2ddx2(c1u1)?4x2dx2(c2u2) 22
? c21?4xddx2u1?c2d2?4xdx2u2 ②?? 2不是线性算符 22222
? [ c1u1?c2u2]?c1u1?2c1c2u1u2?c2u2 ? c2
1[u1]?c22[u2]n ③?是线性算符
K?1nNNNN
?c1u1?c2u2??c1u1??c2u2?c1?u1?c2?u2
K?1K?1K?1K?1K?1
6．指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。 d2dx， i ddx ， 4 ddx 2
解： ??d????*dx? dx??*? -????d??dx?*? dx当 x???，??0，??0 ? ?????*d? dx????ddx??dx?*? dx??????(ddx?)*? dx ???d??(dx?)*? dx? ddx不是厄米算符 ???d?d??*idx? dx?i?*? ?-??i???dx?*? dx ??i????(d?)*? dx???dx??(iddx?)*? dx
?iddx是厄米算符 ? ? ? *4d2?d?*d???dx2? dx?4?*d?dx ?-??4???dxdx dx ? ? 4 ??d?*d? dx?4d?*?2
??dxdxdx??4 ?d?*??dx2? dx ? ? 4 ??d2?d2??dx2?*? dx????(4dx2?)*? dx2?4ddx2是厄米算符、下列函数哪些是算符d27dx2的本征函数，其本征值是什么？
①x2， ② ex， ③sinx， ④3cosx， ⑤sinx?cosx
35