动能
pn22?的可能值为0 A22k?22?A 22k?22?A2 k?2?22 k?2?22
)?2?? 416161616 111112( )?A?? 28888 上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得
对应的几率?n应为 (A2A2 1???nn?(A42?4?A216)?2???A22?2??
∴ A?1/?? ∴ 动量p的平均值为
p??npn?nA2
?0?2k??16pn2?2???2k??A216?2???k??A216?2???k??A2
?2???016 T?p22???2??nn ?2?k?2?22 ?0?22k?22?2?18?18?2
?5k?8? # 3.7 一维运动粒子的状态是
?Axe??x, 当x?0 ?(x)??
? 0, 当x?0其中??0，求：
(1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。
解：(1)先求归一化常数，由
1? ??????(x)dx?32??0Axe22?2?xdx
14?3/2 ∴A?2?
A
2 ?(x)?2?xe (x?0)
?(x)?0 (x?0) c(p)?3/2?2?x????12??3e?ikx?(x)dx?(xe12???0)1/2?2?3/2?????xe?(??ik)x?(x)dx
?(2?2??)1/2[??(??ik)x??ik?1??ik???e?(??ik)xdx
26
?(2?32??)1/2x(??ik)2??(2?32??)1/21(??ip?3
)2 动量几率分布函数为 ?(p)?c(p)2?2?31(??2??p??22?)22??31(???p)2222???x
(2) p???????(x)dx??i??(x)p?3???*??4?xe3ddx(e??x)dx
??i?4??? ??i?4??? ??i?4?3?(3???x(1??x)e2?2?xdx
(x??x)e?14?2?2?xdx
14?2)
?0
#
3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数 ?(x)?Ax(a?x)
描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。
解：由波函数?(x)的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本征函数和本征值为
?2n?sinx, 0 ?x?a? ?(x)?a a? 0 , x ?0, x ?a? En?n??2?a2222 (n?1， 2， 3， ?)
2 动量的几率分布函数为?(E)?Cn Cn??
a?????(x)?(x)dx?*?20sinn?ax?(x)dx
先把?(x)归一化，由归一化条件， 1????2?(x)dx?a22052?5a03Ax(a?x)dx?A?x)dx
222?a0x(a?2ax?x)dx
222 ?A2?(ax?2ax?a54 ?A(a32?a5)?A30a5a530
∴A? ∴ Cn? ? n?ax?x(a?x)dx
?aa2a0?a30a5sin2153[a?0n?xsinxdx?a?a0n?2xsinxdx]
a 27
?215a3[?22a2
n?xcosn?ax?a232n?33n?an?2sinx?xcosxan?an?aa2a ? 2n?n?2axsinx?3an?n
cosx]0 ?415n?33[1?(?1)]
2 ∴ ?(E)?Cnn??960，n?1， 3， 5， ?? ??n6?6
? 0，n?2, 4, 6, ???24066[1?(?1)]
n2 E???????(x)dx??(x)Ha?a0?(x)d22?2p2??(x)dx
? ? ??30a205x(x?a)?[?a?22?dx30?2x(x?a)]dx
(a330??a5?25?
0x(x?a)dx??a52?a33)
?a2
3.9.设氢原子处于状态 ?(r,?,?)?12R21(r)Y10(?,?)?32R21(r)Y1?1(?,?)
求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。
解：在此能量中，氢原子能量有确定值 E2??2?es2222?n 角动量平方有确定值为
2???es8?222 (n?2)
L??(??1)??2? (??1) 角动量Z分量的可能值为 LZ1?0LZ2???
其相应的几率分别为
13 ，
44 其平均值为
133 LZ??0??????
444
3.10一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为 ??, r?a; U(r)??
?0, r?a 28
求粒子的能级和定态函数。
解：据题意，在r?a的区域，U(r)??，所以粒子不可能运动到这一区域，即在这区域粒子的波函数
??0 (r?a)
由于在r?a的区域内，U(r)?0。只求角动量为零的情况，即??0，这时在各个方向发现粒子的几率是相同的。即粒子的几率分布与角度?、?无关，是各向同性的，因此，粒子的波函数只与r有关，而与?、?无关。设为?(r)，则粒子的能量的本征方程为 2 ??1d2?rdr(r2d?dr)?E?
令 U(r)?rE?, k 2?2?E，得
?22 dudr2?k2u?0
其通解为
u(r)?Acoskr?Bsinkr
???(r)?Arcoskr?Brsinkr
波函数的有限性条件知， ?(0)?有限，则 A = 0
∴ ?(r)?Brsinkr
由波函数的连续性条件，有
?(a)?0 ? Basinka?0
∵B?0 ∴ka?n? (n?1,2,?) k?n? a
22? ∴ En?n?22?a2
?(r)?Brsinn?ar 其中B为归一化，由归一化条件得
1?
??0d????220d???a0?(r)rsin? dra
?4???B2sin2n?20ardr?2? aB ∴ B?12? a
∴ 归一化的波函数 ?(r)?1sinn?ar2? ar
3.11. 求第3.6题中粒子位置和动量的测不准关系(?x)2?(?p)2??
#
29
解： p?0
p2?2? T? x? x2?542k?
1212coskx]dx?0 coskx]dx??
22222????Ax[sinkx?2222????Ax[sinkx?2 (?x)2?(?p)2?(x2?x)?(p2?p)?? 3.12 粒子处于状态 ?(x)?(12??2)1/2ixexp[p0x?] 2?4?2式中?为常量。当粒子的动量平均值，并计算测不准关系(?x)2?(?p)2??
解：①先把?(x)归一化，由归一化条件，得 1? ?2????12??2? x2?22edx?12??2????? (x2?2)2ed(x2?2)
12??2??(12??2)1/2
∴?2? ∴ 是归一化的
?1 /
i?2 ?(x)?exp[p0x?x]
?2 ② 动量平均值为
p??????*(?i??ddx)?dx??i?? ??x2???e? i?p0x? ?2x2( i?p0?? x)e i?p0x? ?2x2dx
??i????( i?2p0?? x)edx
??x2 ?p0?e??? ??xdx?i? ??xe???dx
?p0
③ (?x)2?(?p)2?? x?2?????*x?dx?xe12?2 ??x2????xe1 ??x2dx （奇被积函数）
??x2 x??????dx??2?xe???12?????e ??x2dx
?? p???22
d22?????*dx? dx???2????e? i?p0x??x2d2idx2e?p0x??x2 dx
2 ??(??2p0?)?i2??p0?xe?????xdx???22????xe2??x dx
30