(3)最可几半径； (4)动能的平均值；
(5)动量的几率分布函数。 1?2?? 解：(1)r??r?(r,?,?)2d???a3?0?0?0re?2r/a0r2sin? drd? d?
0 ?4a3??/a0
00r3a?2rdr ??nax0xe?dx?n!an?1
?43!a34?30?2a0
?2????a?0?2)U?(?e2(e2r)???a3??2??1?2r/a00?0?0r2sin? drd? d?0re??e2?2??2r/a0?a3?0?0?0e?rsin? drd? d?0
4e2??
a3???2r/a00er dr04e2??1e2a3?2??0?2?a0???a?0?
(3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为
?(r)dr???2?224?2r/a020?0[?(r,?,?)]rsin? drd? d??a3erdr
0 ?(r)?4a3e?2r/a0r2 0 d?(r)4dr?a3(2?20ar)re?2r/a0
0 令
d?(r)dr?0， ? r1?0, r2??, r3?a0
当 r1?0, r2??时，?(r)?0为几率最小位置 2
d?(r)2?2r/a0dr2?4a3(2?80ar?42r)e
0a02
d?(r)?8?2dr2?r?aa3e?0
00 ∴ r?a0是最可几半径。 2 (4)T??12?p?2???22?? ? 2 ? 1 ??2?1?r2 ???r(r?r)?sin???(sin????)?1??sin2???2?? 21
2 T????2??1/a02?r/a02??)r2sin0?0?0?a3e?r?(e? drd? d?
0???2?2??1?r/a01d2?r/a022??0?0?0?a3e0r2dr[rddr(e)]rsin? drd? d?
2 ??4?1r22?a3(?0a(2r??r/a0 dr0??0a)e
0 4?222 ?(2a0?22?a404?a04)?2?a2
0 (5) c(p)????*p(r?)?(r,?,?)d? i c(p)?11?r/a2?0(2??)3/2??0r2dr?a3e??e??prcos?0sin? d??0d?
0 ?2??r2e?r/a?i0dr???prco?s(2??)3/2?a3?00e d(?cos?)
0? ?2?r2e?r/a?iprco0dr???s(2??)3/2?a3??00ipre
0 ?2???ipri?pr(2??)3/2re?r/a0(e??e?)dr
?a30ip?0??n?ax 0xedx?n!an?1 ?2??[11
(2??)3/2??a30ip(1a?i(1i]0?p)2a?0?p)2 ?14ip
2a3?3ip?p20a20?(1a2?2)0?444 ?a0?2a3?3?a2222
00(a0p??) ?(2a3/20?)??
(a2p2??2)20 动量几率分布函数
35 ?(p)?c(p)2?8a0??2(a22)4
0p??#
3.3 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是 Jer?Je??0 Je? m2e??? rsin??n?m
证：电子的电流密度为
22
??i? Je??eJ??e(?2?n?m??*n?m??*n?m??n?m)
?在球极坐标中为
???1??1? ??er ?e??e??rr??rsin???式中er、e?、e?为单位矢量
??i?Je??eJ??e[?2????1??1?(e?e?e)?n?mr???rr??rsin???*n?m???
???1??1?* ? ? n?m(er?e??e?)??rr??rsin?????ie??[er(?2?*n?m
n?m]?n?m
?r?*n?m??*n?m??r???)?en?m?(??n?m1?n?mr??1?*n?m ??1?r????n?m)?e?(1rsin????*n?m?rsin??*n?m???
?n?m)] ??中的r和?部分是实数。 ?ie? ∴ Je??(?im?n?m2?rsin?n?m2?im?2n?m?)e? ??e?m?rsin??2n?m?e?
可见，Jer?Je??0 Je???e?m?rsin??2n?m
#
3.4 由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。 (1)求一圆周电流的磁矩。 (2)证明氢原子磁矩为
??????????me?2?me?2?c (SI)M?Mz
(CGS) 原子磁矩与角动量之比为
MLze?? )?2? ( SI? ????e ( C GS)??2?c
z这个比值称为回转磁比率。
解：(1) 一圆周电流的磁矩为 dM?iA?Je?dS?A （i为圆周电流，A为圆周所围面积）
e?m ????rsin? ??e?m2n?m2dS??(rsin?)
2??rsin??n?mdS
23
??e?m? (2)氢原子的磁矩为 M??rsin??22n?mdrd? (dS?rdrd?)
?dM?2???0??0??e?m??0??2n?m2rsin? drd?
?? ?? ??e?me?m2?e?m2??2?2???0?2n?m2rsin? drd?
???00??0?2n?m2rsin? drd?d?
(SI) e?m2?c 在CGS单位制中 M???
原子磁矩与角动量之比为
MzMzMee?? (CGS) ??? ( SI )
Lz2?cLzLz2?#
2L3.5 一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是H?，L为角动量，求与此
2I对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数： (1) 转子绕一固定轴转动： (2) 转子绕一固定点转动：
解：(1)设该固定轴沿Z轴方向，则有 L2?L2Z
??1L?2???d 哈米顿算符 HZ2I2Id??与t无关，属定态问题) 其本征方程为 (H2222222
??d
2Id??(?)?E?(?)
d?(?)2IE 2???(?)2d?? 令 m2?2IE?2，则
d?(?)d?22 ?m?(?)?0
2 取其解为 ?(?)?Aeim? (m可正可负可为零)
由波函数的单值性，应有
im(??2?)im??e ?(??2?)??(?)?e
?1 即 e ∴m= 0，±1，±2，…
i2m?转子的定态能量为Em?m?2I22 (m= 0，±1，±2，…)
24
可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。 定态波函数为 ?im?m?Ae
A为归一化常数，由归一化条件
1 ? ?2?*20?m?md??A?2?0d??A22?
?A?1
2? ∴ 转子的归一化波函数为
?1m?2?eim?
综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。
(2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为
H??12IL?2 H?与t无关，属定态问题，其本征方程为
12IL?2Y(?,?)?EY(?,?) (式中Y(?,?)设为H?的本征函数，E为其本征值) L?2Y(?,?)?2IEY(?,?) 令 2IE???2，则有
L?2Y(?,?)???2Y(?,?) 此即为角动量L?2的本征方程，其本征值为 L2???2??(??1)?2 (??0, 1, 2, ?) 其波函数为球谐函数Ym?m(?,?)?N?mP?(cos?)eim?
∴ 转子的定态能量为 E??1)?2???(2I
可见，能量是分立的，且是(2??1)重简并的。
#
3.6 设t=0时，粒子的状态为
?(x)?A[sin2kx?12coskx]
求此时粒子的平均动量和平均动能。
解：?(x)?A[sin2kx?12coskx]?A[12(1?cos2kx)?12coskx]
?A2[1?cos2kx?coskx] ?A?i2kx2[1?12(ei2kx?e)?12(eikx?e?ikx)]
?A2??1i2kx2[ei0x?2ei2kx?12e??12eikx?12e?ikx]?12??可见，动量pn的可能值为0 2k? ?2k? k? ?k?
25