解：①
ddx2
22(x)?2 ddxx222 ∴ x不是 ②
ddx22的本征函数。
ex?e
ddx22 ∴ e不是 ③
ddx22x的本征函数，其对应的本征值为1。
(sinx)?ddx(cosx)??sinx d22∴ 可见，sinx是④
ddx22dx的本征函数，其对应的本征值为－1。
(3cosx)?ddx(?3sinx)??3cosx?(3cosx) d22 ∴ 3cosx 是
d22dx的本征函数，其对应的本征值为－1。
ddx22 ⑤dx(sinx?cosx)?(cosx?sinx）??sinx?cosx
??(sinx?cosx) ∴ sinx?cosx是
ddx的本征函数，其对应的本征值为－1。
???ieixd的本征函数。 8、试求算符Fdx?的本征方程为 解：F???F? F即 ?ieixddx?F?ix
d???iFeixdx??d(Feixddx)?d(?Feixddx)
ln???Feddx?lnc?是F的本征值） ??ce?Fe（F
9、如果把坐标原点取在一维无限深势阱的中心，求阱中粒子的波函数和能级的表达式。
a?0, x ???2 解： U(x)??
??, x ?a?2? 方程（分区域）：
a Ⅰ：U(x)?? ∴ ?I(x)?0 (x??)
2?ix 36
Ⅲ：U(x)?? ∴ ?III(x)?0 (x?a2)
Ⅱ：??2d2?II2?dx2?E?II
2 d?II2?Edx2??2?II?0
令 k2?2?E?2
d2?IIdx2?k2?II?0
?II?Asinkx(??)
??(?a)??(?a 标准条件：?I?2II2) ???(a2)??aIIIII(2) ∴ Asin?(kx??)?0
∵ A?0 ∴ sin?(kx??)?0 取 ??kaa2?0， 即 ??k2 ∴ ?x)?Asink(x?aII(2)
Asinka?0 ? sinka?0
∴ ka?n? (n?1, 2, ?) k??an
?Asin?n(x?a), x ?a ∴ 粒子的波函数为 ??(x)???a22
?a??0, x ? 2 粒子的能级为E??2n2?2k22?k2?2?a (n?1, 2, 3, ?)
由归一化条件，得 1????(x)2d??A2?a/2???a/2sin2n?a(x?a2)dx
?A2?a/21?a/22[1?cos2n?a(x?a2)]dx ?A2?a2a/22?A??a/2cos2n?a(x?a2)dx a ?aa2A2?A2?sin2n?(x?a)22n?a2
?a2 37
? ∴ A?a2A 22 a ∴ 粒子的归一化波函数为
?2?naasin(x?), x ???aa22 ?(x)??
a?0, x ? ?2?
10、证明：处于1s、2p和3d态的氢原子中的电子，当它处于距原子核的距离分别为
。 a0、4a0、9a0的球壳处的几率最（a0为第一玻尔轨道半径） 证：1s: ?(r)10dr?R102rdr
2 ?( ?10(r)?(
d?10dr1a031a03)?4e23?2r/a0?rdr
21a01)?4re3?2r/a0
?2r/a0?4(a0)?(2r?r)re2a0r)e2
?8(令
d?10?0，则得
)?(1?1a0?2r/a0
dr r11?0 r11?a0
d?10dr22?8(1a0)?[(1?1a0332a0r)??ra02ra220(1?ra0)e?2r/a0]
?8(
d?10dr22r11?02)?(1?4ra0?)e?2r/a0]
?0 ∴r11?0为几率最小处。
d?10dr2r11?a0?0 ∴r11?a0为几率最大处。
2 2p: ?21(r)dr?R21rdr
12a0)?32 ?( ?21(r)?(
d?21dr?124a05)?r2203r223a0ee?r/a0?rdr
212a0?r/a03a
?(4?1a0r)re3?r/a0 38
2 d2?21dr2?124a5(1?8?r?r/a00ar0a2）r2e]
0令
d?21dr?0，则得
r21?0 r22?4a0
2
d?21dr2?0 ∴
r22?4a0为最大几率位置。
r22?4a0 当 0?r?4a0时， 2
d?10dr2?0 ∴r?0为几率最小位置。
2r 3d: ?232(r)?R32?86?3a098415a7re
0 d?32(5?2r?2r)r5e3a0dr?898415a73a
00令
d?32dr?0，得
r31?0, r32?9a0
同理可知 r31?0为几率最小处。
r32?9a0为几率最大处。
11、求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。 解：???1221(x)?2??2?xe2?x 3 ?(x)21(x)??1?2?x2e??2x2?
d?1?3(x??2x3)e??2x2dx?4?
?4?322??2x2?(1??x)xe
2 d?1?3dx2?422422?(1?5?x?2?x4)e??x
令
d?1dx?0，得
x11?0，x2??2???????x0
02
d?1dx2?0， ∴ x1?0为几率最小处。
x1?0 39
d?1dx2x2??122?0， ∴ x2??112e??x0为几率最大处。
?r 6．设氢原子处在?(r,?,?)?a0的态（a0为第一玻尔轨道半径），求
?a30 ①r的平均值； 2 ②势能?er的平均值。
解：①r???13?2ra?00?a3redr?0sin? d??2?0d?
0 ?1a0?a3?3?2?1?(a0)3?(022)?4?
?32a0
2 ②?esr??e2?12r?a3?4????a00redr
0 ??e2sa0a0a3?4?(2)?(2)
0e2 ??sa
012、粒子在势能为
?U1, 当 x?0 U???0, 当 0?x?a? 当 ?U2, x?a的场中运动。证明对于能量E?U1?U2的状态，其能量由下式决定：
ka?n??sin?1?kk
2?U??12?U2 （其中k?2?E?2）
证：方程
Ⅰ：??2d2?I2?dx2?U1?I?E?II (x?0) 2 Ⅱ：d2???II2?dx2?0?II?E?II (?0x?A)
Ⅲ：??2d2?III2?dx2?U2?III?E?III (x?0)
令 ??2?(U1?E)2?E2?(U2?E)?2, k??2, ??,?2
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