习题1解答
1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A?“出现奇数点”；
（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A?“两次点数之和为10”，B?“第一次的点数，比第二次的点数大2”；
（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1，2，3，4，5；从中同时取出3只球，观察其结果，A?“球的最小号码为1”；
（4）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A?“通过汽车不足5台”，B?“通过的汽车不少于3台”.
解 （1）??{?1,?2,?3,?4,?5,?6}其中?i?“出现i点”i?1,2,?,6， A?{?1,?3,?5}.
（2）??{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6) (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； A?{(4,6),(5,5),(6,4)}； B?{(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}.
（3）??{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)}
A?{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)} （4）??{0,1,2,?},A?{0,1,2,3,4},B?{3,4,?}.
2．设A,B,C是随机试验E的三个事件，试用A,B,C表示下列事件： （1）仅A发生；
（2）A,B,C中至少有两个发生； （3）A,B,C中不多于两个发生； （4）A,B,C中恰有两个发生； （5）A,B,C中至多有一个发生.
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解 （1）ABC
（2）AB?AC?BC或ABC?ABC?ABC?ABC；
（3）A?B?C或ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC； （4）ABC?ABC?ABC；
（5）AB?AC?BC或ABC?ABC?ABC?ABC；
3．一个工人生产了三件产品，以Ai(i?1,2,3)表示第i件产品是正品，试用Ai表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品.
解 （1）A1A2A3；（2）A1?A2?A3；（3）A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3；（4）
A1A2?A1A3?A2A3.
4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率. 解 设A?“任取一电话号码后四个数字全不相同”，则
4P12610?0.504 P(A)?4?102505．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求 （1）5只全是好的的概率； （2）5只中有两只坏的的概率.
5C37解 （1）设A?“5只全是好的”，则P(A)?5?0.662；
C403C32C37?0.0354. （2）设“5只中有两只坏的”，则P(B)?5C406．袋中有编号为1到10的10个球，今从袋中任取3个球，求（1）3个球的最小号码为5的概率；（2）3个球的最大号码为5的概率.
C521解 （1）设A?“最小号码为5”，则P(A)?3?；
C10122C41 （2）设B?“最大号码为5”，则P(B)?3?.
C10207．求下列事件的概率：
（1） 一枚骰子连掷4次，至少出现一个6点； （2）两枚骰子连掷24次，至少出现一对6点.
这是概率论发展历史中非常著名的一个问题(德·梅尔问题)，当年德·梅尔认为这两个
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事件的概率应当相同，但是在实际下赌注中发现其中一个发生的次数要稍微多些.为此他迷惑不解，把问题提交给了当时的数学家帕斯卡.下面我们就来具体计算一下两个事件的概率：
设A1=“一枚骰子连掷4次，至少出现一个6点”， A2=“两枚骰子连掷24次，至少出现一对6点”
64?54543624?35243524则 P(A1)??1?4?0.5177，P(A2)??1?24?0.4914
6463624368．（1）教室里有r个学生，求他们的生日都不相同的概率； （2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.
rP365解 （1）设A?“他们的生日都不相同”，则P(A)?； r365 （2）设B?“至少有两个人的生日在同一个月”，则
21222321C4C12P4111?C4C12?C4P12?C12? P(B)?； 412964P4112或 P(B)?1?P(B)?1?4?.
12969．从6双不同的鞋子中任取4只，求：⑴其中恰有一双配对的概率；⑵至少有两只鞋子配成一双的概率．
解 ⑴分析：先从6双中取出一双，两只全取；再从剩下的5双中任取两双，每双中取到一只，则⑴中所含样本点数为C6C2C5C2C2，所以所求概率P＝C6C2C5C2C2/C12＝⑵设B表示“至少有两只鞋子配成一双”，则：
4.1111P(B)?1?P(B)?1－C64.C2C2C2C2/C12＝
1221221112211416 331717121124，或＝[C6C5C2C2?C6]/C12＝ 33332[注]：不能把有利事件数取为C6C2C10，否则会出现重复事件．这是因为，若鞋子标有号码1，2，…，6时，C6可能取中第i号鞋，此时C10可能取中j号一双，此时成为两双的配对为(i,j)；但也存在配对(j,i)，(i,j)与(j,i)是一种，出现了重复事件，即多出了C6个事件．
10．设事件A与B互不相容，P(A)?0.4,P(B)?0.3，求P(AB)与P(A?B)
21A解 P(AB)?1?P(?B)?1?P(A?)P(B?) 0.3 因为A,B不相容，所以A?B，于是P(A?B)?P(A)?0.6 11．若P(AB)?P(AB)且P(A)?P，求P(B).
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解 P(AB)?1?P(?AB)?1?P(A?)P(B?) ABP()由P(AB)?P(AB)得P(B)?1?P(A)?1?p
12．对任意三事件A,B,C，试证P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(A). 证明 P(AB)?P(AC)?P(B?C)(PA?)B(P?A)C ABC(P ?P(AB?AC)?P{A(B?C)}?P(A). 证毕. 13．随机地向半圆0?y?2ax?x2（a为正常数）内掷一点，点落在园内任何区域的概
率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与x轴的夹角小于?/4的概率. 解 半圆域如图
y 设A?“原点与该点连线与x轴夹角小于?/4” x 由几何概率的定义
1212?a?a11A的面积42 ? /4 P(A)??? ?12x 2?半园的面积a 0?a2y14．把长为a的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率.
解1 设A?“三段可构成三角形”，又三段的长分别为x,y,a?x?y，则
0?x?a,0?y?a,0?x?y?a，不等式构成平面域S.
A发生?0?x?,0?y?,?x?y?a a 222S 不等式确定S的子域A，所以 a/2 A aaa? P(A)?S的面积40 a/2 a 解2 设三段长分别为x,y,z，则0?x?a,0?y?a,0?z?a且 x?y?z?a，不等式确定了三维空间上的有界平面域S.
z A发生?x?y?z x?z?y
A y?z?x
y 不等式确定S的子域A，所以 x P(A)?A的面积1A的面积1?.
S的面积415．随机地取两个正数x和y，这两个数中的每一个都不超过1，试求x与y之和不超过1，积不小于0.09的概率.
?y?，不等式确定平面域1解 0?x?1,0S.
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y A?“x?y?1,xy?0.09”则A发生的 S 充要条件为0?x?y?1,1?xy?0.09不 A 等式确定了S的子域A，故
1? x P(A)?S的面积00.1 0.9 1A的面积?0.90.1(1?x?0.9)dx x ?0.4?0.18ln3?0.2
16．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.
3 解 设Ai?“任取一件是i等品” i?1,2,，
所求概率为 P(A1|A3)?因为 A3?A1?A2
P(A1A3)，
P(A3)?P(2A?)所以 P(A3)?P(A1) P(A1A3)?故 P(A1|A3)?0.?60.?3 0.9P(A)1?0. 662?. 9317．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.
解 设A?“所取两件中有一件是不合格品”
Bi?“所取两件中恰有i件不合格” i?1,2. 则 A?B1?B2
112C4C6C4?2， P(A)?P(B1)?P(B2)?2C10C102P(B2)C41?11?所求概率为 P(B2|A)?. 2P(A)C4C6?C4518．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.
解 设A?“发现是同一颜色”，B?“全是白色”，C?“全是黑色”，则A?B?C，
33C6/C11P(AC)P(C)2??33?所求概率为 P(C|A)? 33P(A)P(B?C)C6/C11?C5/C11319．设P(A)?0.5,P(B)?0.6,P(B|A)?0.8求P(A?B)与P(B?A).
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