解 P(A?B)?P(A)?P(B?)P(A?B)1.?1P(A)P(B?|A)?1.1? 0. P(B?A)?P(B)?P(AB)?0.?60.?4.
20．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率.
解 设A?“从乙袋中取出的是白球”，Bi?“从甲袋中取出的两球恰有i个白球”i?0,1,2. 由全概率公式
P(A)?P(B0)P(A|B0)?P(B1)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2)
112C21C32613C24C3?2??2?? ?2?.
C510C52C5102521．已知一批产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率是0.02，一个次品被误认为是合格品的概率是0.05，求在检查后认为是合格品的产品确是合格品的概率.
解 设A?“任取一产品，经检查是合格品”， B?“任取一产品确是合格品”， 则 A?BA?B AB) P(A)?P(B)P(A|?P(B)P(A |B) ?0.96?0.98?0.04?0.05?0.9428， 所求概率为P(B|A)?P(B)P(A|B)0.96?0.98??0.998.
P(A)0.942822．玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回.试求： （1）顾客买下该箱的概率?；
（2）在顾客买下的一箱中，确无残次品的概率?. 解 设A?“顾客买下该箱”，
B?“箱中恰有i件残次品”，i?0,1,2，
（1）??P(A)?P(B0)P(A|B0)?P(B1)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2)
44C19C18 ?0.8?0.1?4?0.1?4?0.94；
C20C20 （2）??P(B0|A)?P(AB0)0.8??0.85.
P(A)0.9423．某大型商场所出售的一种商品来自甲、乙、丙、丁四个厂家，它们的产品在该卖场所占
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的份额依次为：60%，20%，10%，10%，且根据以往的检验记录知，它们的次品率分别为1%，2%，3%，2%. 现有一件商品因质量问题被退货，商场欲将该产品退给原厂家，或由其承担相关费用，但该产品的标识已脱落，从外观无法弄清生产厂家，请你通过计算分析，为该商场处理此事提出建议.
解 用Ai（i?1,2,3,4）分别表示产品来自甲、乙、丙、丁四个厂家，设B?“产品被退货” 则P(A1)?0.60，P(A2)?0.20，P(A3)?0.10，P(A4)?0.10，P(BA1)?0.01，
P(BA2)?0.02，P(BA3)?0.03，P(BA4)?0.02
(1)由全概率公式,
P(B)??P(Ai)P(BAi)?0.60?0.01?0.20?0.02?0.10?0.03?0.10?0.02?0.015
i?14 (2) 由贝叶斯公式,
P(A1B)?P(A1B)P(A1)P(BA1)0.60?0.016???
P(B)P(B)0.01515P(A2B)P(A2)P(BA2)0.20?0.024???
P(B)P(B)0.01515P(A3B)P(A3)P(BA3)0.10?0.033???
P(B)P(B)0.01515P(A4B)P(A4)P(BA4)0.10?0.022???
P(B)P(B)0.01515 P(A2B)?P(A3B)?P(A4B)?以上结果表明,这只产品来自甲工厂的可能性最大，尽管甲厂次品率最低，但甲厂所占的份额大，所以该产品出自甲厂的可能性最大.
处理办法：商场可以将该产品退回甲厂，也可按照比例6:4:3:2由四个厂家分摊相关费用. 24．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，求甲击中的概率.
解 设A?“目标被击中”，Bi?“第i个人击中” i?1,2 ,所求概率为P(B1|A)?P(B1A)P(B1)P(B1)??
P(A)P(B1?B2)1?P(B1B2) ?0.6?0.75.
1?0.4?0.525．设P(A)?0,P(B)?0，证明A、B互不相容与A、B相互独立不能同时成立. 证明 若A、B互不相容，则AB??，于是P(AB)?0?P(A)P(B)?0
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所以A、B不相互独立.
若A、B相互独立，则P(AB)?P(A)P(B)?0，于是AB??，
即A、B不是互不相容的. 注：从上面的证明可得到如下结论：
1）若A、B互不相容，则A、B又是相互独立的?P(A)?0或P(B)?0. 2）因A?BA?BA，所以P(A)?P(BA)?P(BA)
如果 P(B)?1，则P(BA)?0，从而P(AB)?P(A)?P(A)P(B) 可见概率是1的事件与任意事件独立，自然，必然事件与任意事件独立.
如果P(B)?0，则P(AB)?0?P(A)P(B)，即概率是零的事件与任意事件独立，自然，不可能事件与任何事件独立.
26．证明若三事件A,B,C相互独立，则A?B及A?B都与C独立. 证明 P{(A?B)C}?P(AC?BC)?P(AC)?P(BC)?P(ABC) ?P(B)P(C)?P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C) ?[P(A)?P(B)?P(AB)]P(C) ?P(A?B)P(C) 即A?B与C独立.
? P{(A?B)C}P(ABC?)P(A)P(B)P(?C)P(A?B)P(P)B )(AC?)P(C 即 A?B与C相互独立.
27．某个公司招聘员工，指定三门考试课程，目前有两种考试方案： 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中任选两门，两门都及格为考试通过.
若某应聘者对三门指定课程及格的概率分别为a,b,c，且三门课程之间及格与否互不影响.（1）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率； （2） 哪种方案对应聘者更有利？为什么？
解 设Ai?“考生参加第i门考试且及格”，Bj?“第i个方案通过”，则
P(B1)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)
?ab(1?c)?a(1?b)c?(1?a)bc? abc ?ab?bc?ca?2a bc1111P(B2)?P(A1A2)?P(A1A3)?P(A2A3)?(ab?bc?ac)
3333由于 a,b,c?(0,1)，所以
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22P(B1)?P(B2)?(ab?bc?ac)?2abc?(ab(1?c)?bc(1?a)?ac(1?b))?0
33因此方案一比方案二更容易通过.
28．图中1，2，3，4，5表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合的概率均为p，且设各继电器闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率.
4 5 1 2 3 L R 解 设A?“L?R是通路”，Bi?“第i个接点闭合” i?1,2,3,4,5，则 A?B1B2?B4B5?B1B3B5?B4B3B2 P(A)?P(1B2B)?P(4B5B?)P(1B3B5?B)(P4B3B?2)B(P)B(P2B3B4?B51 B2B)BB ?P(B1B2B4B5)?P(B1B2B3B5)?P(B1B3B4B5)?P(B1B2B3B4B5) ?P(B1B2B3B4B5)?P(B1B2B3B4B5)?P(B1B2B3B4B5) ?P(B1B2B3B4B5)?P(B1B2B3B4B5)?2p?2p?5p?2p.
29．一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80/81，求该射手的命中率.
解 设该射手的命中率为p，由题意
23458011?1?(1?p)4，(1?p)4?，1?p? 81813所以 p?2. 330．设一批晶体管的次品率为0.01，今从这批晶体管中抽取4个，求其中恰有一个次品和恰有两个次品的概率.
解 P4(1)?C4(0.01)(0.99)?0.0388. P4(2)?C4(0.01)(0.99)?0.000588.
31．设在伯努里试验中，成功的概率为p，求第n次试验时得到第r次成功的概率. 解 设A?“第n次试验时得到第r次成功”，则
A?“前n?1次试验，成功r?1次，第n次试验出现成功”， 所以P(A)?P（前n?1次试验，成功r?1次）P（第n次试验成功） ?Cn?1p
r?1r?1r?1rn?r(1?p)n?r?p?Cn. ?1p(1?p)132229
32．设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品，不能出厂.现该厂生产了n(n?2)台仪器（假定各台仪器的生产过程相互独立）.求（1）全部能出厂的概率?；（2）其中恰有两台不能出厂的概率?；（3）其中至少有两台不能出厂的概率?.
解 设A?“任取一台可以出厂”，B?“可直接出厂”，C?“需进一步调试”. 则 A?BA?C，A P(A)?P(B)P(A|B?) P(C)P(A?|C)?0.7?0.3?0.8?p将n台仪器看作n重伯努里试验，成功的概率为p，于是 （1）??(0.94)， （2）??Cn(0.06)(0.94)n22n?2n，
n?1 （3）??1?(0.94)?n?(0.06)?(0.94)
.
习题2解答
1．试说明下列函数能否为某随机变量的分布函数.
??0,??F1(x)??sinx,??1,???0,??0?x?, F2(x)??ln(1?x)2,??1?x?x?.2x?0,x?0,x?0.
解 F1(x)是；F2(x)不是，因为F2(??)?0?1. 2．设随机变量X的分布函数为
?0,??1,?F(x)??4?ax?b,???1,且P(X?1)?x??1,x??1,?1?x?1,x?1.
1，试求：（1）常数a,b的值；（2）P(?2?X?1). 2x?(?1)? 解 (1) 由于F(?1)?limF(x)，即
1?lim(ax?b)?b?a. 4x?(?1)?又
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