3?P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB) 4?P(A)?P(B)?P(A)P(B) ?1?P(B)?(P(B))2.
所以，P(B)?11，即P(Y?a)?. 从而，当1?a?2时， 2221?P(Y?a)??1dy?2?a,
a2故，a?3. 2（2）由于X与Y相互独立，所以，(X,Y)的一个联合密度函数为
??1,1?x?2,1?y?2, f(x,y)????0,其他.?1故， E??XY2?21??2?dy?dx?(ln2). ??1??1??xy?或者，由X与Y相互独立知，
11与也相互独立(见§2.5的定理2.5.4). 所以， XY2121??1?2. E?dxdy?(ln2)????1?1xy??Y??1E??XY??1?E????X9．设随机变量X?P(?)且E[(X?1)(X?2)]?1，随机变量Y?B(8,)且X与Y相互独立，试求：E(X?3Y?4)及D(X?3Y?4).
解 由X?P(?)知E(X)??，D(X)??. 所以，E(X)?D(X)?(E(X))????. 又
222121?E[(X?1)(X?2)]?E(X2)?3E(X)?2??2?2??2，
故??1. 所以，E(X)?1，D(X)?1.
由于Y?B(8,)，故E(Y)?4，D(Y)?2. 所以，
12E(X?3Y?4)?E(X)?3E(Y)?4??15.
由于X与Y相互独立，故
D(X?3Y?4)?D(X)?9D(Y)?19.
10．设二维随机变量(X,Y)?N(10,2,1,1,0)，试求：D(?2X?Y?5).
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解 由于(X,Y)?N(10,2,1,1,0)，所以，D(X)?D(Y)?1且X与Y相互独立. 故，
D(?2X?Y?5)?4D(X)?D(Y)=5.
11．设随机变量X?P(2)，Y?U(0,6)且?XY?及D(Z).
解 由X?P(2)，Y?U(0,6)知E(X)?2，E(Y)?3，D(X)?2，D(Y)?3. 从而，
1，若Z?2X?3Y?3，试求：E(Z)6E(Z)?2E(X)?3E(Y)?3??8，
D(Z)?D(2X?3Y)?D(2X)?D(?3Y)?2Cov(2X,?3Y)
?4D(X)?9D(Y)?12?XYD(X)D(Y)?23.
12．一农场主租用一块河滩地，若无洪水年终可望获利20000元，若出现洪灾他将赔掉
12000元（租地费、种子、肥料、人工费等）. 根据往年经验，出现洪灾的概率为0.4. 问：
（1）求出农场主期望的赢利. （2）保险公司允诺投保1000元，将补偿因洪灾所造成的损失，农场主是否买这一保险？ （3）你认为保险公司收取的保险金是太多还是太少？ 解 （1）设X为农场主的赢利额，则X的分布列为
20000 ?12000 X
0.6 0.4 P
所以， E(X)?20000?0.6?12000?0.4?7200. （2）设Y为农场主投保后的赢利额，则Y的分布列为
所以，E(Y)?19000?0.6?1000?0.4?11000?7200. 从而要买这一保险. （3）设Z为保险公司的赢利额，则Z的分布列为
Y P
19000 ?1000 0.6 0.4
Z P
1000 ?11000 0.6 0.4
所以，E(Z)?1000?0.6?11000?0.4??3800?0. 所以，保险金收的太少.
13．将一枚均匀的硬币连续掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，试求：
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X与Y的相关系数?XY.
解 由于X?Y?n，从而X与Y负线性相关，故?XY??1. 或者
由于X?B(n,)，Y?B(n,)，X?Y?n，所以
1212D(X)?nn，D(Y)?，D(X?Y)?D(n)?0. 44又 0?D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y). 从而，Cov(X,Y)??n. 故，?XY?4Cov(X,Y)??1.
D(X)D(Y)14．设X与Y为随机变量，??aX?b，??cY?d，其中常数a?0，c?0，证明：
?????XY.
证明 Cov(?,?)?Cov(aX?b,cY?d)
?Cov(aX?b,cY)?Cov(aX?b,d) ?Cov(aX,cY)?Cov(b,cY) ?acCov(X,Y).
又D(?)?aD(X)，D(?)?cD(Y)，所以，
22????Cov(?,?)acCov(X,Y)???XY.
D(?)D(?)aD(X)cD(Y)22Y?N(?2,?2)且X与Y相互独立，Z1??X??Y15．设随机变量X?N(?1,?1)，试求：
与Z2??X??Y的相关系数（其中?，?是不全为零的常数）.
解 由X?N(?1,?1)，Y?N(?2,?2)知E(X)??1，E(Y)??2，D(X)??1，
2D(Y)??2. 从而，
222Cov(Z1,Z2)?E(Z1Z2)?E(Z1)E(Z2)
?E(?X??Y)??(E(X))??(E(Y)) ??
22222?2222?
?E(X2)?(E(X))2???2?E(Y2)?(E(Y))2?
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??D(X)??D(Y)???1???2.
又
2D(Z1)??2D(X)??2D(Y)??2?12??2?22D(Z2)??2D(X)??2D(Y)??2?12??2?2.
22222，
所以， ?Z1Z22?2?12??2?2??22. 22D(Z1)D(Z2)??1???2Cov(Z1,Z2)16．设随机变量X?Exp(?)，试求：（1）X的k阶原点矩，三阶及四阶中心矩；（2）X的偏度，峰度及变异系数. 解 （1） ?k?E(X)?k???0x?ek??xdx????ktke?tdt?0t??x??k!?k，
v3??3?3?2?1?2?13?2?3，
v4??4?4?1?3?6?12?2?3?14?（2）由于E(X)??，?(X)??19?4.
D(X)???1，所以，
Sk(X)?v3v4?(X)，，?2K(X)??3?6Cv(X)??1. 34(?(X))(?(X))E(X)17．设A与B为两个随机事件，记
???1,A发生，?1,B发生， Y?? X???1，A不发生.?1，B不发生.????证明：随机变量X与Y不相关的充分必要条件是A与B相互独立.
证明 由于
E(XY)?P(AB)?P(AB)?P(AB)?P(AB)
?P(AB)?(P(A)?P(AB))?(P(B)?P(AB))?1?P(A?B)
?4P(AB)?2P(A)?2P(B)?1，
E(X)?P(A)?P(A)?2P(A)?1， E(Y)?P(B)?P(B)?2P(B)?1，
E(X)E(Y)?4P(A)P(B)?2P(A)?2P(B)?1.
所以， ?XY?0?Cov(X,Y)?0?E(XY)?E(X)E(Y)
?P(AB)?P(A)P(B)，即A与B相互独立.
18．对于任意两个随机事件A，B，若0?P(A)?1，0?P(B)?1，则称
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??P(AB)?P(A)P(B)P(A)P(B)P(A)P(B) 为随机事件A与B的相关系数.
（1）试证明随机事件A与B相互独立的充分必要条件为其相关系数等于零；
（2）利用随机变量的相关系数的性质证明|?|?1. 证明 （1）由?的定义知，
??0?P(AB)?P(A)P(B)?0，即A与B相互独立.
（2）设
???1,A发生，?1,B发生， Y?? X?????0，A不发生.?0，B不发生.从而， E(X)?P(A)，E(Y)?P(B)，E(XY)?P(AB)，
D(X)?P(A)P(A)，D(Y)?P(B)P(B)，
Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?P(AB)?P(A)P(B).
所以， ?XY?Cov(X,Y)?D(X)D(Y)P(AB)?P(A)P(B)P(A)P(A)P(B)P(B)??.
从而，由|?XY|?1知|?|?1.
习题4解答
1. 用切比雪夫不等式估计下列各题的概率：
（1）废品率为0.03，1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率.
（2）200个新生婴儿中，男孩多于80个且少于120个的概率（假定生男孩和生女孩的概率均为0.5）.
解 （1）设X表示1000个产品中废品的个数，则X~B(1000,0.03)， 所以 E(X)?np?1000?0.03?30, D(X)?np(1?p)?29.1 所求概率 P(20?X?40)?P(?10?X?30?10)?P(|X?30|?10) 在切比雪夫不等式P(|X?E(X)|??)?1?D(X)?2中取??10，就有
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