1?P(X?1)?F(1)?F(1?0) 2?1?lim(ax?b)?1?a?b.
x?1?由上两式知a?1,83b?.
8x?1?(2) P(?2?X?1)?F(1?0)?F(?2)?lim(ax?b)?a?b?1. 23．将编号为1,2,3,4的四个球随机地放入3个不同的盒子中，每个盒子所放球的个数不限，以X表示放球最多的盒子中球的个数，试求X的分布列及其分布函数F(x).
121213C3C4?2?C3C42C3C4?28解 P(X?2)?；； ?P(X?3)??44333271C31. P(X?4)?4?327x?2,?0,??2,2?x?3,?3?F(x)??2826
?,3?x?4,???327271?28???1,x?4.??327274．现定期发行某种彩票，每注1元，中奖率为p. 某人每次购买1注，如果没有中奖下次再继续购买1注，直至中奖为止. 试求该人购买次数X的分布列. 解 P(X?k)?(1?p)k?1p,k?1,2,?.
5．一袋中装有m个不同的白球，n?m个不同的黑球，连续从袋中不放回地取球，直至取
出黑球为止，设此时取出了X个白球，试求X的分布列.
k1AmCn?mm(m?1)?(m?k?1)(n?m)?,解 P(X?k)?k?1Ann(n?1)?(n?k)k?0,1,2?,m.
6．设随机变量X的分布列为
0 1 2 3 X 3173 c2?c ?2c P 25210
试求：（1）常数c的值；（2）在X?2的条件下X?0的概率. 解 (1) 由c?2317337c? +?2c+=1 知c?或2. 又?2?2?0，故c?2舍去，252102211
即c?3 . 2P(0?X?2)P(X?1)?P(X?2)??1.
P(X?2)1?P(X?3)(2) P(X?0|X?2)?7．设离散型随机变量X的分布函数为
?0,??0.2,F(x)???0.4,?1,?x??2,?2?x?1,1?x?2,x?2.
试求：（1）X的分布列；（2）P(0?X?2)；（3）设Y?sin数FY(y).
解 (1) X可以取值?2,1,2.
?X6cos?X6，求Y的分布函
P(X??2)?F(?2)?F(?2?0)?0.2?0?0.2； P(X?1)?F(1)?F(1?0)?0.4?0.2?0.2； P(X?2)?F(2)?F(2?0)?1?0.4?0.6.
故X的分布列为
X
P
?2 1 2 0.2 0.2 0.6
(2) P(0?X?2)?P(X?1)?P(X?2)?0.8. (或?F(2)?F(0?0)?1?0.2?0.8) (3) 由于Y? 即
1?X，从而Y分布列为 sin23Y
P
?333 4440.2 0.2 0.6
12
所以，
Y
P
?33 440.2 0.8
?30,x??,?4??33?FY(y)??0.2,??x?,
44??30.2?0.8?1,x?.?4??
8．设连续型随机变量X的分布函数为
x?0,?c,?F(x)?? x3??a?be2,x?0.?试求：（1）常数a,b,c的值；（2）随机变量X的密度函数；（3）limP(|X?2|?x).
x?0解 (1) 由F(??)?0知c?0；由F(??)?1知a?1；由F(x)在0点连续知
F(0)?limF(x)，
x?0?即a?b?0，故b??1.
(2) 在F(x)导数存在的处有f(x)?F?(x)，所以，
?0,?x3f(x)??3?2?xe2,?2(3) 由于F(x)为连续函数，故
x?0,x?0.
limP(|X?2|?x)?lim(F(2?x)?F(2?x))?F(2)?F(2)?0.
x?0x?09．设连续型随机变量X的密度函数为
?ax2,?f(x)??2?x,??0,0?x?1,1?x?2, 其他. 13
试求：（1）常数a的值；（2）随机变量X的分布函数；（3）P(解（1）由于1??????13?X?). 2212a13f(x)dx??ax2dx??(2?x)dx??. 故a?.
01322 （2）当x?0时，F(x)?0；
3213tdt?x； ?02213x1 当1?x?2时，F(x)??t2dt??(2?t)dt?2x?x2?1；
0212 当0?x?1时，F(x)?x 当x?2时，F(x)?1. 故，
?0,??1x3,?2F(x)????1x2?2x?1,?2?1,?x?0,0?x?1,
1?x?2x?2.133213132（3）P(?X?)??xdx??(2?x)dx?.
1221221610．设连续型随机变量X?Exp(?)，证明：对一切实数s?0，t?0有
P(X?s?t|X?t)?P(X?s).
证明 由于X?Exp(?)，从而其分布函数为
x?0,??0, F(x)????x??1?e,x?0.故，对一切实数s?0，t?0，
P(X?s?t|X?t)?P(X?s?t,X?t)P(X?s?t) ?P(X?t)P(X?t)1?P(X?s?t)1?F(s?t)e??(s?t)????t ?1?P(X?t)1?F(t)e?e??s?1?F(s)?P(X?s).
11．设离散型随机变量X的分布列为
P(X?k)?(1?p)k?1p,其中0?p?1，证明：对任意正整数m,n有
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k?1,2,?，
P(X?n?m|X?m)?P(X?n)，
（上述分布列对应的分布称为参数为p的几何分布，上述性质称为几何分布的无记忆性）. 解 P(X?n)?k?n?1?P(X?k)??(1?p)k?n?1????k?1p?(1?p)n.
从而， P(X?n?m|X?m)?P(X?n?m,X?m)P(X?n?m) ?P(X?m)P(X?m)(1?p)n?mn ??(1?p)?P(X?n). m(1?p)12．某人购买某种彩票，若已知中奖的概率为0.001，现购买2000张彩票，试求：（1） 此人中奖的概率；（2）至少有3张彩票中奖的概率（用泊松分布近似计算）. 解 设中奖的彩票数为X，则X?B(2000,0.001).
（1）P(X?1)?1?P(X?0)?1?(0.999)（2）由于2000?0.001?2，故
2000?0.8648.
P(X?3)?1?P(X?0)?P(X?1)?P(X?2)
202122?2?1?(??)e?1?5e?2?0.3233.
0!1!2!13．假设测量的随机误差X?N(0,4)，试求在10次独立重复测量中，至少有二次测量误差的绝对值大于3.92的概率.
解 P(|X|?3.92)?1?P(?3.92?X?3.92)?1?(?(3.923.92)??(?)) 22?2?2?(1.96)?0.05.
设Y为10次测量中误差的绝对值大于3.92的次数，则Y?B(10,0.05). 故
P(Y?2)?1?P(Y?0)?P(Y?1)
?1?(0.95)?C10?0.05?(0.95)?0.0861.
14．一个完全不懂中文的外国人去参加一个中文考试，假设此考试有5个选择题，每题有4个选择，其中只有一个正确答案，试求：此人能答对3题以上而及格的概率. 解 设X为答对的题目数，则X?B(5,). 故
101914P(X?3)?P(X?3)?P(X?4)?P(X?5)
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