X
P
1 2 0.4 0.6
Y
P
0 1 2
0.25 0.5 0.25
（2）在Y?0的条件下，X的条件分布列为
P(X?1|Y?0)?0.1?0.4； 0.250.15P(X?2|Y?0)??0.6.
0.25在Y?1的条件下，X的条件分布列为
0.2?0.4； 0.50.3P(X?2|Y?1)??0.6；
0.5在Y?2的条件下，X的条件分布列为
0.1P(X?1|Y?2)??0.4；
0.250.15P(X?2|Y?2)??0.6.
0.25P(X?1|Y?1)?（3）对任意的i?1,2;j?0,1,2可验证
P(X?i,Y?j)?P(X?i)P(Y?j).
所以，X与Y相互独立.
22．设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为
?62?x(4xy?1),（1）f(x,y)??5?0,?0?x?1,0?y?1,其他.
??24y(1?x?y),（2）f(x,y)????0,x?0,y?0,x?y?1,其他.
试求：条件密度函数fY|X(y|x)及fX|Y(x|y). 解 （1）先求边缘密度函数fX(x)及fY(y).
fX(x)??????f(x,y)dy.
当x?0或x?1时，fX(x)?0； 当0?x?1时，fX(x)?6212362x(4xy?1)dy?x?x. ?05551 21
故，
?12362?x?x,5 fX(x)??5?0,?类似地，
0?x?1,其他.
2?6y?,?5fY(y)??5?0,?所以，当0?x?1时，
0?y?1,其他.
?4xy?1,f(x,y)?fY|X(y|x)???2x?1fX(x)??0,当0?y?1时，
0?y?1,其他.
?3x2(4xy?1),f(x,y)?fX|Y(x|y)???3y?1fY(y)??0,（2）先求边缘密度函数fX(x)及fY(y).
0?x?1,其他.
fX(x)??????f(x,y)dy.
当x?0或x?1时，fX(x)?0； 当0?x?1时，fX(x)?故，
3??4(1?x), fX(x)????0,?1?x024y(1?x?y)dy?4(1?x)3.
0?x?1,其他.0?y?1,其他.
类似地，
2??12y(1?y),fY(y)????0,
所以，当0?x?1时，
?6y(1?x?y),f(x,y)?3(1?x)?? fY|X(y|x)?fX(x)??0,当0?y?1时，
0?y?1?x,其他.
22
?2(1?x?y),f(x,y)?2fX|Y(x|y)???(1?y)fY(y)??0,
23．设连续型随机变量X的密度函数为
0?x?1?y,其他.
?e3?1?x2xe,?f(x)??2e4?0,?试求：2X?1及|X|的密度函数.
?1?x?2,其他.
解 设Y?2X?1，先求Y的分布函数FY(y)，在对其求导数.
y?1y?1FY(y)?P(Y?y)?P(2X?1?y)?P(X?)??2f(x)dx.
??2y?1??1，即y??3时，FY(y)?0，故fY(y)?0； 2y?1当?2，即y?3时，FY(y)?1，故fY(y)?0；
2y?1当?1??2，即?3?y?3时，
2当
FY(y)??故， fY(y)?FY?(y)?y?12?1e3?1?x2xedx， 2e43?(1?y)24e?1y?1??e42e23?y?121e?1??(1?y)e428e2.
所以，2X?1的密度函数为
(1?y)?e3?1??4(1?y)e4,fY(y)??8e?0,??3?y?3,其他.
设Z?|X|，先求Z的分布函数FZ(z)，在对其求导数.
FZ(z)?P(Z?z)?P(|X|?z).
当z?0时，FZ(z)?0，故fZ(z)?0； 当z?0时，FZ(z)?P(?z?X?z)??z?zf(x)dx.
23
e3?1?x2当?1??z?0，即0?z?1时，FZ(z)??xedx，
?z2e4z3e?1?z2?z2故， fZ(z)?FZ?(z)?(ze?ze)?0； 42ee3?1?x2当?z??1且0?z?2，即1?z?2时，FZ(z)??xedx，
?12e4z3e?1?z2?故， fZ(z)?FZ(z)?ze；
2e4e3?1?x2当?z??1且z?2，即z?2时，FZ(z)??xedx?1，故fZ(z)?0.
?12e42所以，|X|的密度函数为
?e3?1?z2?4ze,fZ(z)??2e?0,?
24．设连续型随机变量X的密度函数为
1?z?2,其他.
?1?2,??1f(x)??,?4?0,??2?1?x?0,0?x?2, 其他.令Y?X，F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数. 试求：（1）Y的密度函数
1fY(y)；（2）F(?,4).
2解 （1）先求Y的分布函数FY(y)，在对其求导数.
FY(y)?P(Y?y)?P(X2?y).
当y?0时，FY(y)?0，故fY(y)?0；
y当y?0时，FY(y)?P(?y?X?当?y??1，即0?y?1时，
y)??y?f(x)dx.
24
1FY(y)??dx?2?y1?3故，fY(y)?FY?(y)?y2；
80y?013dx?y， 44当?y??1且y?2，即1?y?4时，
1FY(y)??dx?2?10y?0111dx??y， 4241?1故，fY(y)?FY?(y)?y2；
8当?y??1且所以，
y?2，即4?y时，FY(y)?1，故fY(y)?0.
?3?12?y,?8?1?1fY(y)??y2,?8?0,??0?y?1,1?y?4, 其它.（2） F(?,4)?P(X??,Y?4)?P(X??,X?4)
1?111?P(?2?X??)??2dx?.
?1224121212225．设随机变量X?U(0,1)，试求：e及X解 由X?U(0,1)知其密度函数为
X?2的密度函数.
??1,0?x?1, f(x)????0,其他.设
Y?eX，函数
y?g(x)?ex.
则??min{g(??),g(??)}?0，
??max{g(??),g(??)}???. 由于y?g(x)?ex单调，反函数存在x?lny且当
时，(lny)??y?(0,??)1. 所以，当y?(0,??)时， y 25