fY(y)?f(lny)11?f(lny). yy从而，当0?lny?1，即1?y?e时，fY(y)?1. y1?y?e,其他.?1?y,X所以，Y?e的密度函数为fY(y)???0,?
设Z?X?2，先求Z的分布函数FZ(z)，在对其求导数.
FZ(z)?P(Z?z)?P(X?2?z).
当z?0时，FZ(z)?0，故fZ(z)?0； 当z?0时，FZ(z)?1?P(X?z)?1?当1z?12?1?z?1?z?1f(x)dx.
?1，即0?z?1时，FZ(z)?1??1dx?0，故， fY(y)?0；
0当z?1?1，即z?1时，FZ(z)?1??z?103?11dx?1?z?1，故， fY(y)?FY?(y)?z2.
2?1?3?z2,z?1,?2所以，Z?X的密度函数为fZ(z)??2
?0,其他.?26．设连续型随机变量X的密度函数为
?1?1?x2,f(x)??2?0,?1?x?4,其他.
（1）F(x)；（2）随机变量Y?F(X)的密度函数. F(x)为随机变量X的分布函数. 试求：解 （1）F(x)?P(X?x)?当x?1时，F(x)?0；
x11?1t2dt?x2?1； 2?x??f(t)dt.
当1?x?4时，F(x)?当x?4时，F(x)?1. 所以，
?1 26
?0,?1?F(x)??x2?1,??1,?x?11?x?4, x?4.（2）先求Y?F(X)的分布函数FY(y)，在对其求导数.
FY(y)?P(Y?y)?P(F(X)?y).
当y?0时，FY(y)?0，故fY(y)?0； 当
0?y?1时，
FY(y)?P(F(X)?y,X?1)?P(F(X)?y,1?X?4)
?P(F(X)?y,X?4)
?P(X?1)?P(X?1?y,1?X?4)?0
?0?P(X?(y?1)2,1?X?4)?P(1?X?(y?1)2)
12??故，fY(y)?FY?(y)?1；
(y?1)211?1x2dx?y. 2当y?1时，FY(y)?P(F(X)?y)?1，故fY(y)?0. 所以，Y?F(X)的密度函数为
??1,0?y?1, fY(y)????0,其他.27．设随机变量X的分布函数F(x)为严格单调的连续函数.
（1）试证明随机变量Y?F(X)服从均匀分布U(0,1)；
（2）若对任意实数x，F(x)?1且R(x)??ln(1?F(x))，试证明随机变量Z?R(X)服从指数分布Exp(1).
解 由于F(x)为严格单调递增，从而F(x)的反函数存在且单调递增.
27
（1）先求Y?F(X)的分布函数FY(y)，在对其求导数.
FY(y)?P(Y?y)?P(F(X)?y).
当y?0时，FY(y)?0，故fY(y)?0； 当y?1时，FY(y)?P(F(X)?y)?1，故fY(y)?0； 当0?y?1时，FY(y)?P(X?F(y))?F(F(y))?y. 故，fY(y)?FY?(y)?1；
所以，Y?F(X)的密度函数为
?1?1??1,0?y?1, fY(y)????0,其他.即，Y?F(X)服从均匀分布U(0,1).
（2）先求Z?R(X)的分布函数FZ(z)，在对其求导数.
FZ(z)?P(Z?z)?P(R(X)?z)?P(?ln(1?F(X))?z).
当z?0时，FZ(z)?0，故fZ(z)?0； 当z?0时，
FZ(z)?P(?ln(1?F(X))?z)?P(F(X)?1?e?z)
?P(X?F(1?e))?F(F(1?e))?1?e?z故，fZ(z)?FZ?(z)?e. 所以，
?1?z?1?z?z，
?z??e,fZ(z)????0,z?0,z?0.
从而，Z?R(X)服从指数分布Exp(1).
28．设离散型随机变量X的分布列为
?1 0 1 2 X 11 2aaP 42
试求：（1）常数a的值；（2）Y?X?2的分布列.
28
2解 （1）由于1?2a?111?a?，故a?. 4212（2）由X的分布列知，
Y
P
合并取?1的概率得Y的分布列为
Y
P 29．设随机变量
?1 ?2 ?1 2
16 14 112 12
?2 ?1 2
0.25 0.25 0.5
X1?B(n1,p)，
X2?B(n2,p)且X1与X2相互独立，试证明X1?X2?B(n1?n2,p).
证明 设Z?X1?X2，可取0,1,2,?,n1?n2. 从而，由X1与X2相互独立知，对任
k?0,1,2,?,n1?n2，
P(Z?k)??P(X?i)P(Y?k?i).
i?0k由于X1?B(n1,p)，X2?B(n2,p)，故
当i?n1时，{X1?i}是不可能事件，所以只须考虑i?n1； 当k?i?n2时，{Y?k?i}是不可能事件，所以只须考虑i?k?n2. 因此记
a?max{0,k?n2}， b?min{n,，} 1k则
P(Z?k)??P(X?i)P(Y?k?i)
i?0k ??Ci?abin1n2?(k?i)k?ik?ipi(1?p)n1?i?Cnp(1?p) 2 ?p(1?p)而由组合公式知
kn1?n2?k?Ci?abin1k?iCn. 2 29
?Ci?abin1k?ikCn?Cn1?n2. 2所以，
n1?n2?kkkP(Z?k)?Cnp(1?p),?n12k?0,1,2,?,n1?n2.
这说明X1?X2?B(n1?n2,p).
30．设随机变量X?U(0,1)，Y?Exp(1)且X与Y相互独立，Z?X?Y，试求：（1）（2）Z的密度函数. P(X?Y??2)；
解 由X?U(0,1)，Y?Exp(1)知，X与Y的密度函数分别为
?y???1,0?x?1,?e, 及 fY(y)??fX(x)?????0,其他.?0,y?0,y?0.
又由X与Y相互独立知(X,Y)的一个联合密度函数为
?y??e,f(x,y)????0,0?x?1,y?0,其他.
（1）P(X?Y??2)????10x?20e?ydydx?1?e?3?e?2.
?（2）设Z?X?Y的密度函数为fZ(z). 由于X与Y相互独立，从而
fZ(z)??????fX(x)fY(z?x)dx.
由fX(x)，fY(z?x)不等于零的区域知
?0?x?1, ?z?x?0.?所以，当z?0时，fZ(z)?0； 当0?z?1时，fZ(z)?当z?1时，fZ(z)?所以，
1?1?e0z?(z?x)dx?1?e?z；
?(z?x)?z1?edx?e(e?1). ?0?1?e?z,0?z?1,?? fZ(z)??e?z(e?1),z?1,?z?0.??0,
30