31．设离散型随机变量X的分布列为
X
P
?1 1 0.4 0.6
连续型随机变量Y的密度函数为f(y)且X与Y相互独立. 试问随机变量X?Y为连续型吗？若是，求其密度函数.
解 设X?Y的分布函数为G(z)，则由X与Y相互独立知
G(z)?P(X?Y?z)
?P(X?Y?z,X??1)?P(X?Y?z,X?1) ?P(Y?z?1,X??1)?P(Y?z?1,X?1)
?P(Y?z?1,X??1)?P(Y?z?1,X?1)?P(Y?z?1,X ?? ?P(Y?z?1)P(X??1)?P(Y?z?1)P(X?1)?P(Y?z?1)P(X??1)
?P(Y?z?1)P(X??1)?P(Y?z?1)P(X?1)
?0.4?z??z?1??f(y)dy?0.6?z?1??f(y)dy
??(0.4f(x?1)?0.6f(x?1))dx.
所以，X?Y为连续型，其密度函数为
0.4f(z?1)?0.6f(z?1).
习题3解答
1．设有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开门上的锁，用它们去逐一试开门锁，设每把钥匙被取到的可能性相等. 若每把钥匙试开一次后除去，试求试开次数X的数学期望及方差. （提示：1?2?3???n?解 X的分布列为
k?1An11P(X?k)???,kAnn222n(n?1)(2n?1)）
6k?1,2,?,n.
从而， E(X)??(k?n)?k?1n1n?1. 2 31
1(n?1)(2n?1). E(X)??(k2?)?n6k?12nn2?1 D(X)?E(X)?(E(X))?.
12222．设连续型随机变量X的密度函数为
x?1cos,?2f(x)??2?0,?对X独立地重复观察5次，用Y表示观察值大于解 由于P(X?0?x??，
其他.?的次数，试求Y2的数学期望. 3?3)????31x1155cosdx?，所以，Y?B(5,). 故，E(Y)?，D(Y)?. 2222242所以，E(Y)?D(Y)??E(Y)??215. 23．设离散型随机变量X的分布函数为
1?0,x??,?2??1,?1?x?0,?42 F(x)??11?,0?x?,?23?1?1,x?.3?试求：E(X)，D(X)及E(2|X|?3). 解 由F(x)知X的分布列为
1111P(X??)?F(?)?F(??0)?，
2224111P(X?0)?F(0)?F(0?0)???，
24411111P(X?)?F()?F(?0)?1??.
33322111111从而， E(X)??(?)??0???，
42423241111117， E(X2)????0???4442914467. D(X)?E(X2)?(E(X))2?576
32
又E(|X|)?111117，故 ???0???4242324E(2|X|?3)?2E(|X|)?3??29. 124． 设随机变量X?Exp(1)，随机变量
?1,X?2,?Y??0.5,X?2,
???1,X?2.试求：E(Y)及D(Y).
解 由X?Exp(1)知其密度函数为
?x??e,f(x)????0,x?0,x?0.
从而， P(Y?1)?P(X?2)???2e?xdx?e?2，
P(Y?0.5)?P(X?2)?0，
P(Y??1)?P(X?2)??e?xdx?1?e?2.
02故， E(Y)?1?e?2?(?1)?(1?e?2)?2e?2?1，
E(Y2)?1?e?2?1?(1?e?2)?1， D(Y)?E(Y2)?(E(Y))2?4e?2?4e?4.
5．设连续型随机变量X的密度函数为
?1?xe,??3f(x)???2ex,??3试求：（1）E(X)，D(X)及E(e互独立吗？
解 （1） E(X)???x?0，
x?0.?X2（2）Cov(X,|X|)；（3）X与|X|不相关吗？相)；
??01?x2x1， xedx?xedx??????0??333????01?x22222x E(X)??xf(x)dx??xedx??xedx?2，
??0??3317D(X)?E(X2)?(E(X))2?.
9xf(x)dx?? 33
E(e?X2)??e?????x2f(x)dx??e0???x20?1?xedx??e??3x22x14edx?. 3901?x2xxedx?(?x)edx?1， ????0??33????0122E(X|X|)??x|x|f(x)dx??x2e?xdx??x(?x)exdx??.
??0??3331从而， Cov(X,|X|?)E(X|X?|)E(X)E(?|X?|. )3（2） E(|X|)???|x|f(x)dx????（3）由于Cov(X,|X|)?0，从而?X|X|?0. 故，X与|X|相关. 从而，X与|X|不相互独立.
6．设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布列为：
Y X 0 ?1 0 1
131 101010 1 212 10101022试求：（1）E(X)，E(Y)及E(X?Y)；（2）Cov(X,Y)；（3）X与Y不相关吗？相互独立吗？
解 由(X,Y)的联合分布列可得X与Y的分布列分别为
X
（1） P
0 1
0.5 0.5
Y P
?1 0 1 0.3 0.4 0.3
E(X)?0.5，E(Y)?(?1)?0.3?1?0.3?0，
E(X2)?0.5，E(Y2)?1?0.3?1?0.3?0.6， E(X2?Y2)?0.5?0.6?1.1.
（2） E(XY)?1?(?1)?0.2?1?1?0.2?0，
Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0.
（3）由于Cov(X,Y)?0，从而?XY?0. 所以，X与Y不相关. 而
34
P(X?0,Y??1)?所以，X与Y不相互独立.
13， ?P(X?0)P(Y??1)?10207． 设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为
2?0?y?x,?ax?2xy,0?x?1， f(x,y)??其他.??0,试求：（1）常数a的值；（2）E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)；（3）?XY；（4）X与Y不相关吗？相互独立吗？ 解 （1）由于1???????????f(x,y)dxdy??110??x0ax2?2xydydx??4， ?0?051x13E(Y)???y(3x2?2xy)dydx?，
00301x2E(X2)???x2(3x2?2xy)dydx?，
0031x12E(Y)???y2(3x2?2xy)dydx?，
0042D(X)?E(X2)?(E(X))2?，
7514. D(Y)?E(Y2)?(E(Y))2?2251x132（3） E(XY)???xy(3x?2xy)dydx?，
003613， Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?900（2） E(X)?x?x(3x2?2xy)dydx??a1?，故a?3. 44?????????XY?Cov(X,Y)13?21. D(X)D(Y)168（4）由于?XY?0，所以，X与Y相关. 从而，X与Y不相互独立.
8．设随机变量X?U(1,2)，Y?U(1,2)且X与Y相互独立，设事件A?{X?a}，
B?{Y?a}，已知P(A?B)?3?1，试求：（1）常数a的值；（2）E?4?XY??. ?解 （1）由于X?U(1,2)，Y?U(1,2)，所以，
P(A)?P(X?a)?P(Y?a)?1?P(Y?a)?1?P(B).
又由于X与Y相互独立，故A与B相互独立. 所以，
35